Encuentre una fórmula para la ecuación de onda inhomogénea

Question

Encuentre una fórmula para la solución de $$\begin{cases} w_{tt} - c^2 w_{xx} = f(x,t) \ \ &\text{for} \ \ x > 0, t > 0\\ w(x,0) = \phi(x) \ \ &\text{for} \ \ x > 0\\ w_t(x,0) = \psi(x) \ \ &\text{for} \ \ x > 0\\ w_x(0,t) = h(t) \ \ &\text{for} \ \ t > 0 \end{cases}$$

Normalmente no publico una pregunta sin un intento de solución, pero estoy un poco perdido aquí en cuanto a cómo abordar esto. Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Respuesta parcial

Tanto el dominio espacial como el temporal son semi-infinitos. Se puede aprovechar esto y utilizar, por ejemplo, la transformada de Laplace en $t$ para encontrar

$$s^2 W(x;s) - s \phi(x)-\psi(x)-c^2 W_{xx}(x;s) = F(x;s) $$

donde $W(x;s)$ y $F(x;s)$ son las transformadas de Laplace de $w(x,t)$ y $f(x,t)$ , respectivamente, definidos como

$$W(x;s) = \int^\infty_0 e^{-st}w(x,t)\,\mathrm{d}t $$

Ahora puedes ver esta ecuación como una EDO de segundo orden inhomogénea de coeficiente constante para $W(x;s)$ en función de $x$

$$ W_{xx} - (s/c)^2 W = - (F+s\phi + \psi)/c^2 \equiv Q(x;s), $$

que es fácil de trabajar, dadas las condiciones iniciales en $x$ . Ahora tenemos que elaborar la solución para $W$ . Dejemos que $W_1 = e^{sx/c}$ y $W_2 = e^{-sx/c}$ sea la solución de la parte homogénea de la ecuación. Entonces, según Bender & Orszag (p15), la variación de los parámetros da la solución completa como

$$ W(x;s) = A_1 W_1 + A_2 W_2 + W_p $$

donde la solución particular $W_p$ resulta ser

$$ W_p(x;s) = -W_1 \int^{x}_0 \frac{Q(\xi;s) W_2(\xi;s)}{R(\xi)}\,\mathrm{d}\xi + W_2 \int^{x}_0 \frac{Q(\xi;s) W_1(\xi;s)}{R(\xi)}\,\mathrm{d}\xi $$

donde $R = W_1 \, \partial_x W_2 - W_2 \, \partial_x W_1$ es el wronksiano de $(W_1,W_2)$ . Ahora puede imponer las condiciones iniciales a $x$ y la transformación inversa de Laplace de su solución, que, por supuesto, depende de la forma de $f$ mediante la definición de $Q$ .

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Una alternativa

Vea la PDE como

$$ (\partial_t + c \partial_x)(\partial_t - c \partial_x) w = f(x,t) $$

y definir $u = (\partial_t - c \partial_x) w$ tal que $(\partial_t + c \partial_x) u = f$ Este último es susceptible de ser utilizado por el método de las características, que dice

$$ \mathrm{d}x/c = \mathrm{d}t = \mathrm{d}u/f, $$

que nos dice que $x - ct = c_1$ es una línea característica. Por otro lado, hay que integrar la relación $\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/f(ct + c_1, t)$ , o de forma equivalente:

$$ u = c_2 + \int f(c t + c_1, t) \, \mathrm{d}t $$

poner $c_2$ en función de $c_1$ tener $ u = H(x-ct) + \int f(x, t) \, \mathrm{d}t $ donde $H$ es una función arbitraria de su argumento. Del mismo modo, según la definición de $u$ se obtiene la EDP de primer orden para w:

$$ u = H(x-ct) + \int f(x, t) \, \mathrm{d}t = (\partial_t - c \partial_x) w $$ a partir del cual el método de las características proporciona

$$ -\mathrm{d}x/c = \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}w}{H(x-ct) + \int f(x, t) \, \mathrm{d}t} $$ que proporciona $w = M(x-ct) + N(x+ct) + P$ es como solución, donde $M$ y $N$ son funciones arbitrarias y $P$ es una solución particular que depende de $f(x,t)$ . Habría que imponer condiciones iniciales y considerar límites convenientes para las integrales (pero no estoy seguro de que se cumplan las condiciones en $ x = 0$ ).

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Espero que le resulte útil.