Demostrar que la función gamma converge

Question

Una forma de definir la función gamma es $$\Gamma(x)= \lim_{p\rightarrow \infty} \Gamma_p(x)$$

Donde $$\Gamma_p(x)=\dfrac{p! p^x }{x(x+1)...(x+p)}=\dfrac{p^x}{x(1+x/1)(1+x/2)...(1+x/p)}$$

Cómo probar que el límite converge?

Answer 1

Escribo esto como

$$\Gamma_p(x) = \left[xe^{-x \ln p}\prod_{k=1}^p\left(1+\frac{x}{k}\right)\right]^{-1}=\left[xe^{x (\sum_{k=1}^p1/k-\ln p)}\prod_{k=1}^p\left(1+\frac{x}{k}\right)e^{-x/k}\right]^{-1}.$$

Nos muestran el límite de $p \to \infty$ existe mediante el examen de la convergencia de la suma y el producto que aparece en esta expresión..

Tenga en cuenta que

$$\lim_{p \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} - \ln p \right)= \gamma,$$

donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.

El producto

$$\prod_{k=1}^{p} \left(1 + \frac{1}{k}\right)e^{-x/k}$$

converge si y sólo si la siguiente serie converge

$$\sum_{k=1}^{\infty} \left[\ln\left(1+\frac{x}{k}\right) - \frac{x}{k} \right].$$

La serie de hecho convergen como el sumando es asintótica a$x^2/(2k^2)$$k \to \infty$.

Por lo tanto, la secuencia original converge a la forma de Weierstrass de la función gamma:

$$\Gamma(x) =\left[xe^{\gamma x }\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{k}\right)e^{-x/k}\right]^{-1}$$