Convergencia uniforme de la serie ilimitada de dominio

Question

1 $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^2 + n}{n^2} $$ Es la serie converge uniformemente $\mathbb R$

Ya me he cansado por este resultado

• si $\{f_n(x)\}$ es una secuencia de una función definida en un dominio $D$ tal que

  1. $f_n(x) \geq 0$ todos los $x \in D$, y para todos los $n \in \mathbb N$

  2. $f_{n+1}(x) \leq f_n(x)$ todos los $x \in D$

  3. $\sup_{x\in D} \{f_n(x)\} \to 0$ $n \to \infty$ . Entonces

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{(n+1)}f_n(x)$ converge uniformemente en $D$

dos primeros condición de esta serie está satisfecho, pero la tercera no está satisfecho, por lo que este no es un trabajo

2. $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x \sin \sqrt{\frac{x}n}}{x +n} $$ Is the series converges uniformly on $[1, +\infty)$

He tratado de Abel de la prueba y de Dirichlet de la prueba,pero no obtener ninguna solución.

3. Estudiar la convergencia uniforme de la serie en $\mathbb R$ $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x\sin(n^2x)}{n^2} $$

Supongamos que esta serie converge uniformlybto $f$, por lo que para un determinado$\epsilon > 0$, $N \in \mathbb N$ tal que $\left|\sum_{n=1}^k f_n(x) - f(x)\right| < \epsilon$ todos los $k \geq N$

Por favor, dime cómo proceder en el futuro. Se agradece cualquier ayuda , Gracias

Answer 1

1. En general, si $\sum f_n(x)$ converge uniformemente en $\mathbb R,$

$$ \sup_{\mathbb R}|f_n| \to 0 \text { as } n\to \infty.$$

Esta falla en su problema, porque en este caso $\sup |f_n| \ge |f_n(n^2)| = 1+1/n \not \to 0.$

2. Podemos utilizar la misma idea que en 1. En este problema, $f_n(n) = (1/2)\sin 1 \not \to 0,$, por lo que la serie no converge uniformemente en $[1,\infty).$

3. La serie converge uniformemente en cualquier $[-a,a].$ Prueba: Podemos usar la M de Weierstrass:

$$\sup_{[-a,a]}|f_n| \le \frac{a\cdot 1}{n^2}.$$

Desde $\sum a/n^2 < \infty$ tenemos $\sum f_n$ convergen uniformemente en $[-a,a].$

Sin embargo, la serie no converge uniformemente en $\mathbb R.$ podemos utilizar de nuevo la idea de en 1. Deje $x_n = \pi/2n^2 + 2\pi n^2.$, a Continuación, compruebe

$$\sup_{\mathbb R} |f_n| \ge |f_n(x_n)|\ge 1 \not \to 0.$$

Answer 2

En cuanto a la primera de la serie $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^2 + n}{n^2} $$ the remainder $$R_{2n}(x) = \sum_{k=2n}^\infty (-1)^n \frac{x^2 + k}{k^2}$$ can be evaluated grouping one even term with one odd term. You get $$R_{2n}(x) = x^2\sum_{k=2n}^\infty \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} + \sum_{k=2n}^\infty \frac{1}{k(k+1)}$$ The second term of the RHS is converging to $0$ as the series $\sum \frac {1}{k(k+1)}$ es convergente.

En cuanto a la primera, tenemos $\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} \sim \frac{2}{k^3}$. Por lo tanto $$\sum_{k=2n}^\infty \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} \sim \frac{A}{n^2}$$ with $A > 0$. Therefore $R_{2n}(x)$ doesn't converge uniformly to zero (consider $x=n$). Y la serie no es uniformemente convergente.

Answer 3

Para el segundo problema, podemos utilizar la desigualdad

$$\sin\left(\sqrt{\frac{x}{n}}\right)\ge \sqrt{\frac{x}{x+n}}$$

para $0\le \sqrt{x/n}\le \pi/2$.

Entonces, tenemos

$$\begin{align} \sum_{n=N}^\infty \frac{x\,\sin\left(\sqrt{\frac{x}{n}}\right)}{x+n}&\ge \sum_{n=N}^\infty \left(\frac{x}{x+n}\right)^{3/2}\\\\ &\ge \int_N^\infty \left(\frac{x}{x+y}\right)^{3/2}\,dy\\\\ &=\frac{2x^{3/2}}{\sqrt{x+N}}\\\\ &>1 \end{align}$$

siempre que $x=N$$N\ge1$.

Por lo tanto, existe un número $\epsilon>0$ (aquí se $\epsilon=1$ es el adecuado), de modo que para todos los $N'$ existe un $x\in[1,\infty)$ (aquí se $x=N$), y existe un número $N>N'$ (aquí, tome cualquiera de las $N>N'\ge 1$) tal que $\left|\sum_{n=N}^\infty \frac{x\,\sin\left(\sqrt{\frac{x}{n}}\right)}{x+n}\right|\ge \epsilon$.

Esta es la declaración de la negación de la convergencia uniforme y por lo tanto la serie no converge uniformemente.