Calcular la integral de la $\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{a^{2}\cos^2t+b^{2}\sin^{2}t}dt$, por deformación teorema.

Question

Yo quiero probar:

$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{a^{2}\cos^2t+b^{2}\sin^{2}t}dt=\frac{2\pi}{ab}$$

por la deformación teorema de variable compleja.

Entonces considero que una parametrización $\gamma:[0,2\pi]\rightarrow A$, recorrida en el sentido contrario del reloj de la mano, de la elipse (en $\mathbb{C}$):

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Pensé en buscar una función para $f:A\rightarrow \mathbb{C}$ (analítica en $A$) y una curva de $\lambda:[0,2\pi]\rightarrow A$ (homotópica a $\gamma$) y el uso de la deformación teorema:

$$\int_{\gamma}f = \int_{\lambda}f$$

Pero no puedo encontrar una función $f(z)$ que cumple con lo que necesito, ¿me pueden ayudar a encontrar la f?

P. D: Necesariamente tengo que usar el teorema de la deformación

Answer 1

Vamos a la elipse $\Gamma$ $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

ser parametrizado por $$ z = a\cos\theta + ib\sin\theta$$ con $\theta\in[0,2\pi].$

Considere la integral $$ \int_\Gamma \frac{1}{z} dz.$$

Esto es igual a $$ \int_0^{2\pi} \frac{1} {\cos\theta + ib\sin\theta} (- \sin\theta + ib\cos\theta) \; d\theta\\ = \int_0^{2\pi} \frac{a\cos\theta-ib\sin\theta}{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta} (- \sin\theta + ib\cos\theta) \; d\theta.$$ que es $$\int_0^{2\pi} \frac {b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta + iab(\cos^2\theta+\sin^2\theta)} {a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta} \; d\theta \\=\int_0^{2\pi} \frac {b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta + iab} {a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta} \; d\theta.$$

Esto implica que $$ \frac{1}{ab} \Im \int_\Gamma \frac{1}{z} dz = \int_0^{2\pi} \frac{1} {a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta} \; d\theta.$$

Ahora aplique el teorema de deformación, al girar la elipse a un círculo ronda el origen de la radio, consiguiendo $$ \frac{1}{ab} \Im \int_\Gamma \frac{1}{z} dz = \frac{1}{ab} \Im \int_{|z|=1} \frac{1}{z} dz = \frac{1}{ab} \Im (2\pi i) = \frac{2\pi}{ab}.$$

La verificación. Podemos verificar este resultado el uso de los residuos de Cauchy teorema directamente. Poner $z=e^{i\theta}$, de modo que $dz = i e^{i\theta} \; d\theta$ $d\theta = 1/(iz) \; dz$ para obtener $$\int_0^{2\pi} \frac{1} {a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta} \; d\theta = \int_{|z|=1} \frac{4}{a^2(z+1/z)^2 - b^2(z-1/z)^2} \frac{1}{iz} \; dz.$$ Esto le da $$\frac{1}{i}\int_{|z|=1} \frac{4z}{a^2(z^2+1)^2 - b^2(z^2-1)^2} \; dz$$ Esto tiene las siguientes cuatro sencillos polos: $$\rho_{0,1} = \pm i\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \quad\text{y}\quad \rho_{2,3} = \pm i\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}.$$ Ahora supongamos que $a>b>0$ (el otro de los casos son tratados de manera similar). Esto deja sólo $\rho_{0,1}$ dentro del círculo unidad.

Los residuos son fáciles de calcular: $$\mathrm{Res}\left(\frac{4z}{a^2(z^2+1)^2 - b^2(z^2-1)^2}; z=\rho_{0,1} \right) = \left.\frac{4z}{2a^2(z^2+1)2z - 2b^2(z^2-1)2z}\right|_{z=\rho_{0,1}} \\ = \left.\frac{2}{2a^2(z^2+1) - 2b^2(z^2-1)}\right|_{z=\rho_{0,1}} = \left.\frac{1}{(a^2-b^2)z^2 + (a^2+b^2)}\right|_{z=\rho_{0,1}}.$$ Tenga en cuenta que $$\rho_{0,1}^2 = - \frac{a-b}{a+b}$$ da para los residuos $$ \frac{1}{-(a^2-b^2)(a-b)/(a+b) + (a^2+b^2)} = \frac{1}{-(a-b)^2 + (a^2+b^2)} = \frac{1}{2ab}.$$ Por lo tanto, el valor de la integral es $$2\pi i \times \frac{1}{i} \times \left(\frac{1}{2ab} + \frac{1}{2ab}\right)= \frac{2\pi}{ab},$$ QED.

Answer 2

Pick $\lambda$ a ser del círculo unidad atravesada una vez en sentido antihorario:

$\displaystyle \lambda (t) = \cos t + i \sin t$,

y $f(z) = 1/z$.

$f$ es homolomorphic en el conjunto abierto $\mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$, en el que tanto $\gamma$ $\lambda$ son homotópica. Tenemos, por definición:

$\displaystyle \int_{\gamma} f = \int_{0}^{2\pi} f(\lambda(t)) \dot{\lambda}(t) dt$

En detalles, tenemos:

$\displaystyle f(\lambda(t)) = \frac{1}{\displaystyle a \cos t + i b \sin t}$ $\displaystyle \dot{\lambda} (t) = - a \sin t + i b \cos t$

Ahora, poniendo todo junto en la integral y se multiplica por el denominador del complejo conjugado, usted puede comprobar que:

$\displaystyle \int_{\gamma} f = \int_{0}^{2\pi} (\ldots) + i \int_{0}^{2\pi} \frac{ab}{\displaystyle a^{2} \cos^{2} t + b^{2} \sin^{2} t} dt$

Por otro lado, usted sabe que $\int_{\lambda} f = 2 \pi i$. Ya que por Cauchy teorema de homotópica de la versión integrales deben de coincidir, se obtiene el resultado deseado, igualando su imaginaria.