Pregunta de Hartshorne del libro la Proposion II.(2.6)

Question

En la Proposición II. (2.6) de Hartshorne libro "la geometría algebraica". No puedo entender la prueba de la parte. En la prueba, vamos a $V$ ser afín a la variedad de los campos $k$ con la gavilla de regular la función $\mathcal{O}_V$ afines y de coordinar el anillo de $A$. Deje $X={\rm Spec}A$. Ahora, definir un morfismos de localmente anillado espacios

$$\beta : (V, \mathcal{O}_V) \rightarrow X$$

de la siguiente manera: Para cada punto $p \in V$, $\beta(p)=\mathcal{m}_p$, el máximo ideal, correspondiente a $p$. Y para cualquier conjunto abierto $U \subseteq X$, definir un anillo homomorphism $\mathcal{O}_X(U) \rightarrow \beta_*(\mathcal{O}_V(U)=\mathcal{O}_V(\beta^{-1}(U))$. Facilitados sección $s\in \mathcal{O}_X(U)$, y dado un punto de $p\in \beta^{-1}(U)$, definimos $s(p)$ tomando la imagen de $s$ en el tallo $\mathcal{O}_{X,\beta(p)}$, que es isomorfo al anillo local $A_{\mathcal{m}_p}$, y, a continuación, pasar al cociente del anillo de $A_{\mathcal{m}_p}/\mathcal{m}_p$ que es isomorfo al campo $k$. Por lo tanto, consideramos a $s$ como una función de$\beta^{-1}(U)$$k$.

En el libro, este homomorphism da un isomorfismo $\mathcal{O}_X(U) \cong \mathcal{O}_V(\beta^{-1}(U))$.

Pero, no entiendo esta parte... ¿por qué isomorfismo??

Quiero ver una descripción Detallada o de referencia de esta parte.

Answer 1

Deje $V$ ser afín variedad, más de un algebraicamente cerrado campo de $k$. No suponemos que $V$ es irreductible. Deje $A$ ser afín a coordinar anillo de $V$. Deje $X = Spec(A)$. Deje $U$ ser un subconjunto de a $X$. Deje $s \in \mathcal{O}_X(U)$. Deje $p \in \beta^{-1}(U)$. Denotamos por a $s(p)$ la imagen de $s_{m_p}$ $A_{m_p}/m_pA_{m_p} = k$ donde $m_p$ es el máximo ideal correspondiente a $p$. Denotamos por a $\bar s$ la función de $\bar s(p) = s(p)$. Si $U = X$,$A = \mathcal{O}_X(U)$. Desde $A_{m_p}/m_pA_{m_p}$ es canónicamente isomorfo a $A/m_p$, $s(p)$ es el valor de $s$$p$. Por lo tanto $\bar s = s$ es regular en $V = \beta^{-1}(X)$. Del mismo modo, si $U = D(f)$ algunos $f \in A$,$A_f = \mathcal{O}_X(U)$. Por lo tanto $s = g/f^n$ algunos $g \in A$ y un entero $n \ge 0$. Desde $s(p) = g(p)/f(p)^n$, $\bar s$ es regular en $\beta^{-1}(D(f))$. Por lo tanto, $\bar s$ es regular en $\beta^{-1}(U)$ para cualquier subconjunto $U$. Definimos un homomorphism $\psi_U\colon \mathcal{O}_X(U) \rightarrow \mathcal{O}_V(\beta^{-1}(U))$ por $\psi_U(s) = \bar s$.

Pretendemos que $\psi_U$ es un isomorfismo. Supongamos $\psi_U(s) = 0$. A continuación, $\bar s|D(f) = \bar {(s|D(f))} = 0$ para cada subconjunto abierto $D(f) \subset U$. Supongamos $s|D(f) = g/f^n$ $g \in A$ y un entero $n \ge 0$. Desde $\bar {(s|D(f))} = 0$, $g(p) = 0$ para cada $p \in \beta^{-1}(D(f))$. Por lo tanto $f(p)g(p) = 0$ por cada $p \in V$. Por lo tanto $fg = 0$. Por lo tanto $s|D(f) = g/f^n = 0$$A_f$. Desde $D(f) \subset U$ es arbitrario, $s = 0$. Por lo tanto $\psi_U$ es inyectiva.

Queda por demostrar que $\psi_U$ es surjective. Primero nos tenga en cuenta que si $U = D(f)$, $\psi_U$ es surjective, por tanto, un isomorfismo. Esto es evidente por el hecho de que $\mathcal{O}_V(\beta^{-1}(D(f)))$ es canónicamente isomorfo a $A_f$ (para la prueba, ver a esta pregunta).

Deje $t \in \mathcal{O}_V(\beta^{-1}(U))$. Deje $(D(f_i))_{i\in I}$ ser una cubierta de $U$. Deje $t_i = t|\beta^{-1}(D(f_i))$. Desde $\psi_{D(f_i)} \colon \mathcal{O}_X(D(f_i)) \rightarrow \mathcal{O}_V(\beta^{-1}(D(f_i)))$ es un isomorfismo, existe $s_i \in \mathcal{O}_X(D(f_i))$ tal que $\bar s_i = t_i$. Desde $t_i = t_j$ en $\beta^{-1}(D(f_i)) \cap \beta^{-1}(D(f_j))$, $s_i = s_j$ en $D(f_i) \cap D(f_j)$. Por lo tanto, no existe una única $s \in \mathcal{O}_X(U)$ tal que $s|D(f_i) = s_i$. Desde $\bar s |\beta^{-1}(D(f_i)) = \bar s_i = t_i$, $\bar s = t$. Por lo tanto $\psi_U$ es surjective.