"Convergencia uniforme" de$\frac{k(k+1)\cdots(k+n-1) - k^n}{n!k^n}$

Question

¿La expresión$$\phi(n,k)=\frac{k(k+1)\cdots(k+n-1) - k^n}{n!k^n}$$ uniformly converge to zero as $ k \ to \ infty $? más precisamente,

dado$\varepsilon>0$ ¿podemos encontrar$N$ de manera que para todos$k\geq N$ y todos$n$ tenga ese$\phi(n,k)< \varepsilon$?

Estoy trabajando en un ejercicio y, si esto fuera cierto, terminaría, sin embargo, no puedo encontrar una manera de probarlo. ¿Cuál es tu intuición al respecto? es cierto, y si es así, ¿cómo podría probarlo?

Answer 1

Podemos escribir$\phi(n,k) \le \frac{(n+k)^n - k^n}{n!k^n}$. Puede expandir el binomio en esta expresión y el límite superior aún más por$\frac{n {n \choose {n/2}}}{k n!}$, tomando el techo de$n/2$ si$n$ es impar. Este límite superior se justifica por el hecho de que el coeficiente binomial medio es mayor y$n/k > (n/k)^m$ por$m > 1$. Para hacer esto menos que$\epsilon$, elija$k$ mayor que$\frac{n {n \choose {n/2}}}{n! \epsilon}$. Sabemos que$\frac{n {n \choose {n/2}}}{n!}$ está delimitado arriba por una constante, ya que como$n \to \infty$ converge a cero y una secuencia convergente está limitada, por lo que la convergencia es uniforme.