"Mágica" identidad entre primitivas.

Question

Bueno, matemáticos sabemos que (algunas hipótesis "habituales") $f'(x)=g'(x)\implies f(x)-g(x)=C$, donde $C$ es una constante.

Mi pregunta es sobre un ejemplo elemental en este contexto que debería sorprender. $\arcsin$ y el como es demasiado difícil para mis alumnos. ¿Hay algo más simple? El punto es mostrar que, dadas dos funciones, si su derivada es la misma, estas funciones son necesariamente los mismos, hasta una constante.

Answer 1

¿Prueba $\ln(x)$ y $\ln(2x)$?

No hay mucho para esto salvo idear un par de fórmulas que parecen aparentemente diferentes.

Answer 2

¿Tal vez algo como esto?

(a) derivar una fórmula para el derivado de $h(x)=f(x)^{g(x)}$.

(b) utilizar la fórmula para calcular la derivada de $h(x)=x^{\frac{1}{\ln x}}$.

(c) explicar el resultado.