Encontrar números primos $p,q$ tal que $p^n+p^{n-1}+...+p+1=q^2+q+1$

Question

Dejemos que $p,q$ son números primos y $n$ es un número par tal que : $p^n+p^{n-1}+...+p+1=q^2+q+1$

Encuentre $p,q$ ?

Creo que..:

$p^n+p^{n-1}+...+p+1=q^2+q+1\Rightarrow p^n+p^{n-1}+...+p=q(q+1)\Rightarrow p|q(q+1)\Rightarrow p|q$ o $p|q+1$

Si $p|q$ entonces $p=q$ . Puedo resolver esto

Si $p|q+1$ No sé cómo hacer lo siguiente.

Answer 1

Respuesta parcial: Supongamos que $p\neq q$ . $q\neq 2$ y $q$ no divide $n$ . Supongamos que

$$p^{n}+\cdots +p+1=q^2+q+1$$

con $n$ un número par. Usando la suma geométrica, tenemos

$$\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=q^2+q+1$$

y por lo tanto

$$p^{n+1}-1=(p-1)(q^2+q+1)$$

Si tomamos el módulo $q$ obtenemos

$$p^{n+1}-1\equiv p-1 \mod q$$

y por lo tanto, ya que $p\neq q$

$$p^n\equiv 1\mod q$$

Dejemos que $m$ sea el orden multiplicativo de $p$ en el grupo $\mathbb{Z_q}$ entonces $m$ divide $n$ y $q$ (Lagrange), por lo tanto, ya que $n$ y $q$ son relativamente primos $m=1$ . Esto implica

$$p\equiv 1\mod q\ .$$

En este punto, volvemos a la igualdad original

$$p^{n}+\cdots +p+1=q^2+q+1$$

Si tomamos el módulo $q$ en ambos lados, obtenemos

$$1+1+\cdots+1\equiv 1 \mod q$$

donde sumamos $1$ $n+1$ veces, es decir

$$n+1\equiv 1\mod q$$

y así $n\equiv 0\mod q$ pero esto es absurdo ya que $q$ no divide $n$ .