Relación de dispersión y capacidad calorífica

Question

He visto casos de estudio del modelo de Debye en 3D en el que los modos vibracionales de un sólido se toman como armónicos con relación de dispersión $\omega = c_sk$ . Se dice que para temperaturas muy inferiores a la temperatura de Debye, la capacidad calorífica a volumen constante $$C_V\sim T^3$$ .

Ahora quiero demostrar que para bosones con relación de dispersión $\omega\sim A\sqrt k$ tiene capacidad calorífica $$C_V\sim T^4$$ para $T\ll T_{Debye}$ .

En los estudios de casos que he leído, no encuentro dónde entra en juego la relación de dispersión. No tengo ni idea de cómo ver esto. Por favor, ayúdenme.

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Tal vez pueda obtener una respuesta si cambio la pregunta por: ¿Cómo entra la relación de dispersión en los cálculos del modelo de Debye? ¡Se agradecerían mucho los enlaces a las notas o una respuesta!

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@MarkMitchison ha señalado amablemente que la densidad de estado depende de la relación de dispersión. ¿Cuáles son las definiciones generales de $$E, p$$ en términos de $$\omega, k$$ ? Por ejemplo, para el primer caso $E=\hbar \omega$ y $p=\hbar k$ . Así que la pregunta es: ¿cuáles son los valores respectivos de $E,p$ ¿en general?

Answer 1

Para los cuantos individuales con una relación de dispersión arbitraria $\omega(\vec{q})$ siempre se puede escribir $E=\hbar \omega(\vec{q})$ y $\vec{p}=\hbar\vec{q}$ . Las energías pueden depender de los momentos de alguna manera, pero las relaciones de de Broglie se mantienen para todos los cuantos individuales, ya sean bosones como los fonones o los fotones, fermiones como los electrones o los agujeros, o tus bosones de aspecto gracioso. Realmente no importa.

Volviendo a su ejemplo:

Tenemos un gas bidimensional* de bosones con una dispersión $\omega(\vec{k}) = A \sqrt{|\vec{k}|}$ a un volumen fijo $V$ (bueno, superficie, pero "volumen" es más general). Para hallar la capacidad calorífica, primero calculamos la densidad de estados, que es donde entra la relación de dispersión , entonces a partir de eso y de la estadística de Bose-Einstein calculamos la energía total U:

$g(E) = \frac{V}{(2\pi)^2} \frac{d^{2}\vec{k}}{dE}$

Como nuestra relación de dispersión es isotrópica (angularmente simétrica), esto se simplifica a

$= \frac{V}{(2\pi)^2} 2\pi|\vec{k}| (\frac{dE}{d|\vec{k}|})^{-1}$

$\frac{dE}{d|\vec{k}|} = \frac{A\hbar}{2\sqrt{|\vec{k}|}}$ Así que

$g(E) = \frac{V}{(2\pi)^2} \frac{4\pi|\vec{k}|\sqrt{|\vec{k}|}}{A\hbar}$

Para mayor comodidad, llame al $k = |\vec{k}|$ , $E = \frac{k^{1/2}}{\hbar A}$ y esto se simplifica a

$g(E) = \frac{V}{\pi\hbar A} k^{3/2} = \frac{V(\hbar A)^2}{\pi} E^3$

Ahora, para calcular nuestra energía interna total, $U$ :

$U(T) = \int \frac{E}{exp(E/k_{B}T)-1} g(E)dE = \frac{V(\hbar A)^2}{\pi} \int \frac{E^4}{exp(E/k_{B}T)-1} dE$

$ = \int \frac{z^4}{e^z-1} dz \frac{V(\hbar A)^2}{\pi} (k_{B}T)^{5} $

$U(T) \approx V\frac{120\zeta(5)\hbar^{2}A^{2}k_{B}^5}{\pi} T^5$

Donde he sustituido $z = E/k_{B}T$ para simplificar la integral numérica, y tomando los límites de la integral como $0$ y $\infty$ que es una aproximación justa a bajas temperaturas. Sin embargo, esto es sólo una constante numérica, y por lo general se puede ignorar cuando se trabaja a mano y simplemente lanzarlo en Maple o en su sistema de álgebra computacional favorito más tarde. Lo importante es que, a bajas temperaturas, la energía interna es proporcional al volumen $V$ y $T^5$ .

Dicho de forma más sencilla, $U(T) \propto V T^5$ .

Para obtener la capacidad calorífica volumétrica $C_V(T)$ de la energía interna $U(T)$ simplemente diferenciamos por $T$ y luego dividir por el volumen $V$ ,

$C_{V} = \frac{1}{V}\frac{dU}{dT} \propto \frac{1}{V}\frac{d V T^5}{dT}$

$C_{V} \propto T^4$

Que era lo que queríamos.

*(He encontrado esto después de completar las derivaciones tanto para 2D como para 3D. No especificaste cuál en tu pregunta original, pero 2D es consistente con la $T^4$ dependencia de $C_V$ .)

Answer 2

Espero recordarlo bien de mi clase de estado sólido (no encuentro mis apuntes). El calor específico es algo así como

$C_{v}\sim\int \frac{e^{\beta\omega}}{(e^{\beta\omega}-1)^2}g(\omega)d\omega$

donde $g(\omega)$ es la densidad de estados. Y para un $3D$ de la celosía se obtiene

$g(\omega)d\omega =\frac{d^{3}k}{(2\pi)^3}=\frac{k^2dk}{(2\pi)^3}$

Con su relación de dispersión dada $\omega=A\sqrt{k}$ todo lo que tienes que hacer es reemplazar $k$ en lo anterior para encontrar la densidad de estados para evaluar la integral. Espero que esto ayude de alguna manera.