Estocásticos de orden no implica (ni está implícita en) la vida residual media de fin de

Question

Deje $X,Y$ ser no negativo de variables aleatorias con acumulables las funciones de distribución de $F$ $G$ respectivamente. A continuación, $X\le_{\text{st}}Y$ fib $1-F(x)\le 1-G(x)$ todos los $x\ge 0$ annd $X\le_{\text{mrl}}Y$ fib $$\frac{1}{1-F(x)}\int_{x}^{+\infty}(1-F(u))du\le \frac{1}{1-G(x)}\int_{x}^{+\infty}(1-G(u))du$$ para todos los $x\ge 0$. (Suponga que los denominadores no son cero, no es importante aquí). Shaked y Shanthikumar escribir en p.83 de 2007 "Estocástico"Pedidos de

Ninguno de los órdenes de $\le_{\text{st}}$ $\le_{\text{mrl}}$ implica que el otro; contraejemplos se pueden encontrar en la literatura.

Traté de construir contraejemplos con la Beta, Gamma, Uniforme (que son bien conocidos por ser estocásticamente en aumento en algunos de sus parámetros), pero no tuve éxito. Es decir, cuando las variables que construyo son estocásticamente en aumento, entonces ellos también están aumentando en los LMR orden.

Alguien puede proporcionar algunas referencias para los ejemplos que se Agita y Shanthikumar sugieren, o alguien puede proporcionar un ejemplo?

Gracias.

Answer 1

He encontrado contraejemplos trabajando con una función que es elemental para integrar: la exponencial (que incluye las funciones trigonométricas seno y coseno). Pensé que una ondulada de la supervivencia de la función $1-F$ podría hacer el truco, y lo hace cuando ajustadas de manera adecuada.

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Considerar, entonces, la densidad de

$$f(t;\omega,\kappa,\phi) = \frac{\kappa \left(\kappa ^2+\omega ^2\right) \color{red}{e^{-\kappa t} (\cos (\omega (t-\phi ))+1)}}{\kappa ^2 \cos (\omega \phi )+\kappa ^2+\kappa \omega \sin (\omega \phi )+\omega ^2}$$

definido por $t\ge 0$ con los parámetros de $\omega \gt 0$ (la frecuencia), $\kappa \gt 0$ (la tasa de descomposición), y $\phi$ (la fase). (A pesar de que puede parecer complicado, es realmente sólo una forma exponencial descomposición de la sinusoide--muestra en rojo--tiempos de una adecuada normalización de factor.) La integración da la supervivencia de la función

$$1-F(t;\omega,\kappa,\phi) = \frac{e^{-\kappa t} \left(\kappa ^2+\kappa ^2 \cos (\omega (t-\phi ))-\kappa \omega \sin (\omega (t-\phi ))+\omega ^2\right)}{\kappa ^2 \cos (\omega \phi )+\kappa ^2+\kappa \omega \sin (\omega \phi )+\omega ^2}$$

a partir de la cual podemos calcular la "media vida residual" de la función

$$\eqalign{h(t;\omega\kappa\phi) &= \frac{1}{1-F(t;\omega\kappa\phi)}\int_t^\infty (1-F(t;\omega\kappa\phi))dt \\ &=\frac{2 \kappa }{\kappa ^2+\omega ^2}-\frac{\kappa ^2+\kappa ^2 \cos (\omega (t-\phi ))-\omega ^2}{\kappa \left(\kappa ^2+\kappa ^2 \cos (\omega (t-\phi ))-\kappa \omega \sin (\omega (t-\phi ))+\omega ^2\right)}. }$$

Voy a comparar la distribución con parámetros de $(\omega,\kappa,\phi)=(0,1,0)$ (que se muestra en azul en todas las parcelas de la densidad, la supervivencia, y de LMR) para distribuciones con otros parámetros de $(2\pi, \kappa,\phi)$ (mostrado en rojo).

El primero no se mueva-es exponencial, mientras que el otro hace. Es sencillo demostrar que los patrones visuales establecidos para la supervivencia de la relación y de LMR seguir en cero y a infinito, así que no entraré en los detalles.

En primer lugar es el caso de $\kappa=0.96$$\phi=1.7$: el ondulante de distribución decae un poco menos lentamente.

El "índice de supervivencia" es la relación de las dos funciones de supervivencia, teniendo la base (azul) como numerador. En este caso, ninguno de distribución domina al otro en términos de los LMR, pero el segundo siempre tiene una mayor supervivencia de la función: domina estocásticamente a la primera.

El próximo considerar $\kappa=4/3$$\phi=0.79$. El ondulante densidad decae más rápidamente, manteniendo su LMR bajo, pero un cambio en su fase afecta a la proporción de supervivencia para los pequeños argumentos $t$.

Debido a que el índice de supervivencia es a la vez positivo y negativo, ni la distribución domina estocásticamente a la otra; sin embargo, el primero siempre tiene el mayor LMR.

Estos dos ejemplos ilustran cómo ni de dominancia estocástica ni de la dominación en MLR implica la otra.