Encontrar $zw, \frac{z}{w},\frac{1}{z}$ $ z=2\sqrt{3}-2i, w=-1+i$

Question

Encontrar $zw, \frac{z}{w},\frac{1}{z}$ $ z=2\sqrt{3}-2i, w=-1+i$

Me fue mal en alguna parte, esto es lo que tengo hasta ahora (esto es en polar):

$z=4\left(\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)+\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right) $

$w=\sqrt2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) $

Ahora mi programa de instalación debería ser:

$zw=4\sqrt2\left(\cos\left(\frac{11\pi}{6}+\frac{7\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{11\pi}{6}+\frac{7\pi}{4}\right)\right) $

El denominador común es $12$, por lo que

$zw=4\sqrt2\left(\cos\left(\frac{22\pi}{12}+\frac{21\pi}{12}\right)+\sin\left(\frac{22\pi}{12}+\frac{21\pi}{12}\right)\right) $

que luego debe ser igual a

$zw=4\sqrt2\left(\cos\left(\frac{43\pi}{12}\right)+\sin\left(\frac{43\pi}{12}\right)\right) $

La respuesta en el libro dice:

$zw=4\sqrt2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\right) $

¿De dónde me salen mal?

Incluso no he probado los otros problemas todavía.

Answer 1

Primero, observe que el argumento de $w$$\frac{3 \pi}{4}$, no $\frac{7\pi}{4}$. Y usted se olvidó de poner el "$i$"'s junto con los senos. Sólo un poco de distracción. El otro argumento, y los valores absolutos están bien. Tienes que configurar todo lo demás correctamente. Utilizando el valor de derecho anterior, obtenemos: $$\begin{align}zw &=4\sqrt2\left(\cos\left(\frac{11\pi}{6}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{11\pi}{6}+\frac{3\pi}{4}\right)\right) \\ &= 4\sqrt2\left(\cos\left(\frac{22\pi + 9\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{22\pi + 9\pi}{12}\right)\right) \\ &= 4\sqrt2\left(\cos\left(\frac{31\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{31\pi}{12}\right)\right)\end{align}$$ Normalmente, nos gustaría hacer una parada aquí, pero, siempre podemos reducir la disputa es entre el$0$$2\pi$, y el uso que $\sin$ $\cos$ tienen ambos plazo,$2\pi$. Observe que: $$\frac{31\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} + 2\pi$$ De esta manera, se obtiene: $$zw = 4\sqrt2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\right)$$ como se desee. Ok?

Answer 2

Usted tiene el ángulo equivocado para $w$. Debería ser$3\pi/4$, ¿verdad?