Prueba sobre invertibility de matriz utilizar infima y las normas de la matriz

Question

Sea la norma en esta pregunta cualquier norma de matriz. Que $I$ ser la matriz identidad y $A$ cualquier matriz cuadrada y valor real. Estoy tratando de probar la siguiente declaración. Si $$\inf_{\lambda \in \mathbb{R}}| I - \lambda A |

No tengo ni idea donde empezar con esto. Sé de un teorema en la serie de Neumann que tiene cuando no miramos el infimum %#% de #% pero no veo cómo puedo usar eso para probar la declaración.

Answer 1

Esta condición implica que no es $\lambda\ne0$ tal que $$ \|I-\lambda\|<1. $$ Si $\lambda$ sería igual a cero, a continuación,$\|I-\lambda A\|=\|I\|=1$, por lo que este caso está excluida.

Esta estimación implica que $I-(I-\lambda A)$ es invertible, como $\sum_{k=1}^\infty (I-\lambda A)^k$ converge. Por lo tanto $\lambda A$ $A$ son invertible así.