Sospecho Rudin del problema fue la intención de ser un poco más amplio en su alcance.
Permítanme abordar la segunda parte, primero, por dar un contraejemplo donde $g,h$ son homomórfica, sino $f$ no lo es.
Definir la función de $\lambda: \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}$$\lambda(z) = \log |z| + i \arg z$, donde yo estoy tomando la $\arg: \mathbb{C}\setminus \{0\} \to [-\pi, \pi)$. Esta es la principal rama de $\log$ amplió para incluir a los rayos $\{(x,0)| x < 0\}$. $\lambda$ no es continua en este rayo, por lo tanto no analítica en $\mathbb{C}\setminus \{0\}$. El punto es que $e^{\lambda(z)}= z$ (en la región).
A continuación, tomar
$\Omega_1 = \mathbb{C}\setminus \{0\}$, $\Omega_2 = \mathbb{C}$. Deje $g:\Omega_2 \to \Omega_2$ ser dado por $g(z) = e^z$, y deje $h:\Omega_1 \to \Omega_2$ ser dado por $h(z) = z$. De nuevo, es fácil ver que $f = \lambda$ satisface la ecuación de $h(z) = g(f(z))$$z \in \Omega_1$. Por lo tanto $f$ no necesita ser holomorphic.
Ahora, para la primera parte. Resulta que si $f$ $h$ son holomorphic, a continuación, $g$ es demasiado. Debemos mostrar ese $g$ es diferenciable en a $f(\Omega_1)$. Para simplificar la vida,$\Omega_2 = f(\Omega_1)$. Desde $f$ no es constante, $\Omega_2$ es una región (Rudin, La Asignación Abierta Teorema).
En primer lugar mostramos que $g$ es continua. Deje $\hat{w} \in \Omega_2$, $\hat{w} = f(\hat{z})$ algunos $\hat{z} \in \Omega_1$. Por Rudin, Teorema de 10.32, podemos escribir $f(z) = \hat{w}+(\phi(z))^m$ en algunos vecindario $V$$\hat{z}$, para algún entero $m\geq 1$, y una invertible, analítica mapa de $\phi$. Tenga en cuenta que $\phi(\hat{z}) = 0$, e $|\phi(z)| = |f(z)-\hat{w}|^\frac{1}{m}$. Ahora vamos a $w_k \to \hat{w}$,$w_k \in f(V)$, y elija $z_k \in V$ tal que $f(z_k) = w_k$. Luego tenemos a $|\phi(z_k)| \to 0$, y desde $\phi$ es invertible y la analítica, tenemos $z_k \to \hat{z}$. Luego tenemos a $g(w_k) = h(z_k)$, y desde $h(\hat{z}) = g(\hat{w})$, $g$ es continua en a $\hat{w}$.
Ahora supongamos $f'(\hat{z}) \neq 0$. Entonces por Rudin, Teorema de las 10.30, $f$ tiene un local analítica inverso $\psi$ tal que $\psi(f(z)) = z$ en un barrio de la $U$$\hat{z}$. Esto a su vez da $f(\psi(f(z))) = f(z)$, y desde $f$ no es constante, $f(U)$ es una región. A continuación, para$w \in f(U)$,$f(\psi(w)) = w$. Así tenemos a $g(f(\psi(w)) = g(w) = h(\psi(w))$$f(U)$. Por lo tanto $g$ es analítica en $f(\hat{z})$.
Por Rudin, Teorema 10.18, vemos que los ceros de un no-constante de la analítica de la función son aislados. En particular, los ceros de $f'$ son aislados. Así, supongamos $f'(\hat{z}) = 0$. A continuación, $f'(z) \neq 0 $ $z \neq \hat{z}$ en un barrio de $\hat{z}$. Por lo tanto $g$ es analítica para $z \neq \hat{z}$ en este barrio. Luego del teorema de Morera, junto con Rudin, Teorema 10.13 y la continuidad de la $g$ muestra que $g$ también es analítica en $f(\hat{z})$.
Por lo tanto $g$ es analítica en $\Omega_2$.
