¿Alguien sabe si el siguiente es verdadero,
Deje $H$ ser un infinito dimensional de Hilbert-espacio y $K:H\rightarrow H$ un operador compacto. Entonces si $|\mathrm{spec}(K)|<\infty$ i.e el espectro es finito se sigue que $0$ es un autovalor.
Creo que está mal... pero no soy capaz de construir un buen ejemplo contrario.
Podría alguien ayudarme?
Gracias de antemano!
Como Juan se indica a continuación, el operador de Volterra da la deseada contraejemplo.
El original de la afirmación, por otro lado, es cierto whe $K$ es normal: con la diferencia de que una base de vectores propios se pueden obtener.
Así que cuando $K$ es normal: Todos los distinto de cero elementos del espectro de un operador compacto son los autovalores con finito-dimensional subespacios propios. Ya que hay sólo un número finito de ellos, la imagen de $K$ es finito-dimensional. Por el primer teorema de isomorfismo, el núcleo de $K$ es distinto de cero (infinito-dimensional, en realidad). A continuación, el cero es un valor propio.
Esto es en realidad una verdadera declaración de si $K$ es auto-adjunto y compacto.
En primer lugar, $0$ está en el espectro debido a $K$ es un operador compacto y por lo tanto no es invertible. Para operadores compactos en un Espacio de Hilbert, los autovalores son densos en el espectro. Por lo tanto, si el espectro es finito, entonces es discreto y debe ser así, que el conjunto de valores propios es igual a la del espectro. Por lo $0$ es un autovalor.
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