Funciones medibles tales que $\int\underline{\text{lim}}f_n=0 $ y $\underline{\text{lim}}\int f_n=+\infty$ .

Question

Necesito encontrar un ejemplo de una secuencia de funciones medibles $ f_n \geq0$ para $ n = 1,2, ... $ tal que $\int\underline{\text{lim}}f_n=0 $ y $\underline{\text{lim}}\int f_n=+\infty$ .

Como puedo definir estas funciones medibles. Gracias

Answer 1

Una pista: La integral de $n\chi_{[n,n+1]}$ es igual a $n$ (aquí $\chi_{[n,n+1]}$ es la función indicadora en el intervalo $[n,n+1]$ ). Lo que sucede con esta función puntualmente como $n$ ¿crece?

Answer 2

Hay tres cosas que pueden salir mal en las integrales cuando se toman límites de funciones:

1. El soporte de las funciones podría ser demasiado grande, y los valores de las funciones demasiado pequeños, por lo que las funciones convergen a $0$ pero el área bajo el gráfico a $\infty$ .

2. Las funciones tienen algún pico, por lo que aunque convergen a $0$ El pico mantiene el área bajo el gráfico grande.

3. Es posible que se le escape algún bulto a $\infty$ por ejemplo $f_n(x)=1$ en $[n+n+1]$ y $0$ de lo contrario.