Sencilla y compacta Mentira grupos tienen un único bi-invariante métricas. Por lo tanto, son de Riemann colectores en una forma única, por lo que podemos preguntarnos ¿cuál es su holonomy grupo. Hay una relación entre el grupo $G$ y su holonomy grupo? Por ejemplo, es el holonomy grupo $G$ sí?
Respuesta
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Deje $(G,b)$ ser un compacto grupo simple equipado con el biinvariant métrica. Deje $Hol_e^0$ denotar la identidad de los componentes de la holonomy grupo de $G$$e\in G$.
La reclamación. $Hol_0$ es la identidad de los componentes de la imagen de $G$ bajo el medico adjunto de la representación.
Prueba. Deje $H$ denotar el grupo de isometría de $(G,b)$. A continuación, $H=L(G)R(G)$ lo que significa que cada isometría de $(G,b)$ tiene la forma $$ I_{g_1,g_2}: g\mapsto g_1 g g_2, g\in G $$ para algunos fijos $g_1, g_2$. (Puede haber un número finito del núcleo de el mapa $I: G\times G\to H$.) Una prueba se puede encontrar por ejemplo en Helgason del libro "Geometría Diferencial y Simétrica de los espacios".
El estabilizador $H_e$ $e$ $H$ se compone de isometrías $I_{g,g^{-1}}$, lo que, por lo tanto, actúa en $T_eG$ a través de la adjoint representación de $G$. Siguiente, $(G,b)$ es simétrica espacio; puede ser identificado con $H/H_e$. Cartan demostró que para cada simétrica espacio sin plana factores de $X=H/K$ donde $H$ es el total de isometría grupo de $X$ $K$ es el estabilizador de un punto de $p$ en $X$, $Hol_p^0=K^0$, la identidad de los componentes de $K$. (Este debe ser de nuevo en Helgason del libro). Poniendo todo junto, se obtiene que en nuestro establecimiento $Hol_e^0=Ad(G)^0$. qed
Se puede ampliar esta prueba para el caso de no-simples grupos compactos. La pequeña diferencia es que holonomy es igual a la holonomy de la semisimple factor de $G$; al mismo tiempo, la abelian parte de $G$ no contribuye al medico adjunto de la representación.
No estoy seguro de lo que sucede cuando usted considere no sólo la identidad de los componentes, sino toda la $G$$Hol_e$.
