Si $A$ y $B$ son $n\times n$ matrices complejas , entonces $AB-BA=I$ es imposible.

Question

Si $A$ y $B$ son $n\times n$ matrices complejas , entonces $AB-BA=I$ es imposible

Lo entiendo con cualquier ejemplo. Pero, ¿cómo se puede explicar de forma general?

Answer 1

Observe que $\mathrm{tr}(AB-BA)=0$ , mientras que $\mathrm{tr}(I)=n$ .

Answer 2

Otra forma podría ser probar el identidad multiplicativa

$$\det({\bf AB}) = \det({\bf A})\det({\bf B})$$

Y considera la relación entre el determinante y los valores propios

$$\det({\bf X})=\prod_{i=0}^{n} \lambda_i({\bf X})$$

junto con la perturbación de los valores propios por adición de la identidad:

$$\lambda_k({\bf X+I}) = 1+\lambda_k({\bf X})$$