Discretos Análogo del Teorema Fundamental del Cálculo

Question

En Sable Elaydi del libro "Una Introducción a las Ecuaciones de Diferencia", 3ª ed., Seg 2.1 (página 59), el discreto análogo del Teorema Fundamental del Cálculo se indica: \begin{equation} \sum_{k=n_0}^{n-1} \Delta x(k) = x(n) - x(n_0) \end{equation} y \begin{equation} \Delta \left(\sum_{k=n_0}^{n-1}x(k) \right) = x(n) \end{equation} donde $\Delta x(k) = x(k+1)-x(k)$ es el operador diferencia. No entiendo la segunda parte. El $\Delta$ operador es lineal así que ¿por qué no entrar en la suma? También, incluso si la suma se evalúa en primer lugar y, a continuación, la diferencia, el resultado es el mismo que en la primera ecuación. ¿Hay alguna falta de notación en el que $x's$ $\Delta$ debe actuar?

Gracias de antemano por el apoyo.

Answer 1

La primera ecuación, cuando el operador está escrito en el interior de la suma está destinada a ser análoga a $$\int^b_a f'(x) dx = f(b) - f(a).$$

En la segunda ecuación, cuando el operador se escribe fuera de la suma, se nos recuerda: $$ \frac{d}{dx} \int^x_a f(t) dt = f(x).$$

Mientras que el avance operador diferencia es, de hecho, lineal, no podemos simplemente mover el operador dentro de la suma. Esto es debido a que en la segunda ecuación, el operador que actúa sobre el índice de $n$, no en $k$ como se hace en la primera ecuación. Estamos considerando la secuencia de $a_n = \displaystyle \sum_{k=n_0}^{n-1} x(k)$ $ $ \begin{equation} \Delta \left(\sum_{k=n_0}^{n-1}x(k) \right) = \Delta (a_n) = a_{n+1} - a_n = \sum_{k=n_0}^{n} x(k) -\sum_{k=n_0}^{n-1} x(k)= x(n) \end {equation} $$

así, la segunda ecuación es correcta como está escrito.