La función es idéntica a cero

Question

Es cierto que:

Cualquier función racional $f$ $\mathbb{C}^2$ que se desvanece en $S=\{(x,y)\in\mathbb{C}^2 : x=ny \text{ for some } n \in \mathbb{Z}\}$ debe ser idéntica a cero.

Tengo un teorema que dice que cualquier función racional que se desvanece en un conjunto abierto en la topología de Zariski debe ser idénticamente cero, pero me parece que no puede demostrar que $S$ está abierto. En realidad, no creo que $S$ está abierto.

Answer 1

Si la función racional $f = \frac{p}{q}$ se desvanece en $S$, entonces en cada punto de $S$, al igual que el polinomio $p$ o el polinomio $q$. Lo que significa que el polinomio $pq$ se desvanece en el conjunto de la $S$. Sin embargo, si este polinomio es distinto de cero, esto significa que $(x-ny)$ es un factor de $pq$ todos los $n$, y por lo tanto $pq$ es de un grado infinito. Esto es claramente absurdo, por lo $pq$ debe ser idéntica $0$. No puede ser $q$, por lo que ésta debe ser $p$ que es idéntica $0$, y por lo tanto también es $f$.