Encontrar un determinante complicado

Question

Hallar el determinante de la $m \times m$ matriz $K$ donde $$K_{ij} = {1 \over 1 - x_ix_j} $$ para cualquier valor de $x_1,x_2,\dotsc, x_m$ .

Mi primera idea es hacer que cada componente sea polinómico escalando las filas de la matriz: $$K_{ij} \prod_{k=1}^m(1-x_ix_k)=\prod_{k\neq j}(1-x_ix_k)$$

Como el determinante de la matriz escalada es un polinomio puedes determinar su grado, y encontrar sus raíces utilizando el hecho de que el determinante de una matriz con dos columnas iguales es cero.

Lo que ocurre es que el grado del polinomio en $x_1$ es $2(m-1)$ . Y jugando con Wolfram Alpha se ve que $m-1$ de ellos son raíces dobles. Encontrar esas $m-1$ raíces es fácil pero demostrar que tienen multiplicidad $2$ parece difícil; parece que tengo que diferenciar.

¿Hay alguna manera más fácil?

Answer 1

Si dos $x_i$ son iguales, el determinante es cero, por lo que el numerador de $\det(K)$ contiene todos los factores $(x_i-x_j)$ .
Intercambiar $x_i$ con $x_j$ intercambias las dos filas y las dos columnas, de modo que el determinante sigue siendo el mismo. Así que el numerador debe contener todos los factores $(x_i-x_j)^2$ .
Espero $(1-x_ix_j)$ es un factor en el denominador, y aparece dos veces si $i\neq j$ .
Es la respuesta $$\frac{\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2}{\prod_{i,j}(1-x_ix_j)}$$

Answer 2

En efecto, la respuesta es \begin{equation} det(K)=\frac{\underset{{\scriptscriptstyle i\neq j}}{\prod}\left(x_{i}-x_{j}\right)}{\underset{{\scriptscriptstyle i,j=1..n}}{\prod}(-1+x_{i}x_{j})} \end{equation} Para demostrarlo basta con proceder por inducción. Para $n=1$ es trivialmente correcto y asumiendo que es correcto para $n$ la rectitud para $n+1$ debe seguir fácilmente ya que sólo tienes que sumar $n+1$ determinante de la misma forma multiplicado por $\frac{1}{-1+x_{1}x_{j}}$ . Puede ser un lío en la notación, pero debería ser bastante sencillo.