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Question

Encontrar la suma de $n$ términos de la siguiente serie:

$$1\cdot3\cdot2^2+2\cdot4\cdot3^2+3\cdot5\cdot4^2+\cdots$$

Yo estaba tratando de usar $S_n=\sum T_n$, pero mientras que la escritura $T_n$ tengo un plazo habiendo $n^4$ y no sé $\sum n^4$. ¿Hay alguna otra manera de encontrar la suma?

Answer 1

Tenemos $$ n(n+1)^2(n+2) = 24\binom{n+2}{4}+12\binom{n+2}{3}\tag{1}$$ por lo tanto $$ \sum_{n=1}^{N}n(n+1)^2(n+2) = 24\binom{N+3}{5}+12\binom{N+3}{4} \tag{2}$$ es una consecuencia del Palo de Hockey de identidad, lo que conduce a: $$ \sum_{n=1}^{N}n(n+1)^2(n+2) = \color{red}{\frac{1}{10} N (1+N) (2+N) (3+N) (3+2 N)}.\tag{3}$$

Answer 2

Para encontrar $\sum_{k=1}^{n}(k^4)$ usted puede seguir este proceso.

Considere la posibilidad de la identidad, $(x+1)^5-x^5=5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$.

Poner a $x=1,2,3,...,(n-1),n$ sucesivamente, obtenemos,

$2^5\space-\space 1^5=5\cdot1^4+10 \cdot1^3+10\cdot1^2+5\cdot1+1$

$3^5\space-\space 2^5=5\cdot2^4+10 \cdot2^3+10\cdot2^2+5\cdot2+1$

$\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\cdot$

$\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\cdot\space\space\space\space\space\space\space\cdot$

$n^5\space-\space (n-1)^5=5\cdot(n-1)^4+10 \cdot(n-1)^3+10\cdot(n-1)^2+5\cdot(n-1)+1$

$(n+1)^5\space-\space n^5=5\cdot n^4+10 \cdot n^3+10\cdot n^2+5\cdot n+1$

Añadir columna sabio que tenemos,

$(n+1)^5-1^5=5(1^4+2^4+\cdot\cdot\cdot+n^4)+10(1^3+2^3+\cdot\cdot\cdot+n^3)+10(1^2+2^2+\cdot\cdot\cdot+n^2)+5(1+2+\cdot\cdot\cdot+n)+(1+1+\cdot\cdot\cdot+n)$

$\implies n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n=5\sum_{k=1}^{n}(k^4)+10\sum_{k=1}^{n}(k^3)+10\sum_{k=1}^{n}(k^2)+5\sum_{k=1}^{n}(k)+n$

Sabiendo que la suma de la serie' $\sum n^3$ , $\sum n^2$ y $\sum n$, se puede resolver para $\sum n^4$ a partir de la ecuación anterior para obtener el resultado:

$\sum n^4=\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

Answer 3

Una alternativa a la búsqueda de la fórmula para $\sum k^4$ es en lugar de escribir el $k$th plazo como $$(k+2)(k+1)^2k=(k+3)(k+2)(k+1) k-2(k+2)(k+1)k.$$ Es decir, uno de los oficios sumas de potencias enteras de una suma de consecutivos de productos. Para ver la ventaja, tenga en cuenta que, por ejemplo,

$$1\cdot 2\cdot 3 +2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+4\cdot 5\cdot 6=210= \frac{1}{4}(4\cdot 5\cdot 6\cdot 7),$$ es decir, la suma de los productos de tres números enteros consecutivos puede ser expresado en términos de un producto de cuatro enteros consecutivos. Un patrón similar se tiene para otras cantidades, permitiendo la necesaria fórmulas para ser fácil de encontrar. (En comparación, el patrón de sumas de potencias enteras está mucho más involucrado.) A partir de dichos cálculos, se puede obtener la deseada fórmula para la suma original.

Answer 4

La respuesta es $S_n = \frac{1}{5}n^5 + \frac{3}{2}n^4 + 4n^3 + \frac{9}{2}n^2 + \frac{54}{30}n $

$\sum n^4 $ no es realmente un problema.

Puedes hacerlo utilizando este método aquí https://www.coursera.org/learn/calculus1/lecture/uR7YK/what-is-the-sum-of-n-4-for-n-1-to-n-k

No sé si esto es útil, pero así es como yo lo tengo

$S_n = \sum a_n$

$a_n = n(2+n)(1+n)^2 = n^4+4n^3+5n^2+2n$

por lo tanto : $ S_n = \sum {(n^4+4n^3+5n^2+2n)} $

$S_n = \sum n^4 + 4\sum n^3 + 5\sum n^2 + 2\sum n $

$S_n = \frac{1}{30}( 6n^5 +15n^4 + 10n^3- n) +4(\frac{1}{4}(n^4+2n^3+n^2) + 5(\frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 +n ) ) + 2(\frac{1}{2}(n^2 +n ) ) $

por lo tanto, $S_n = \frac{1}{5}n^5 + \frac{3}{2}n^4 + 4n^3 + \frac{9}{2}n^2 + \frac{54}{30}n $

Answer 5

SUGERENCIA:

$$\text{S}=\sum_{n=1}^mn(n+1)^2(n+2)=\frac{m(1+m)(2+m)(3+m)(3+2m)}{10}$$