¿Por qué las soluciones de las ecuaciones diferenciales se dan con dominios restringidos?

Question

He resuelto $y^2=y'$ con la condición inicial de que $y(0)=1$ y tengo $\displaystyle y(x)=\frac{1}{1-x}$ .

Mi libro dice que es sólo la parte de esta función de $-\infty$ a $1$ que cuenta.

No entiendo por qué.

Ahora, si la condición inicial fuera $y(2)=-1$ ¿eso lo haría la porción de $1$ a $+\infty$ ?

¿Y si se dieran las dos condiciones iniciales?

Answer 1

Veamos un problema más familiar. Queremos encontrar una función $y$ tal que $$\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{(t-3)^2} \qquad \text{and} \qquad y(4)=17$$

Integrar. Si lo hacemos de la forma familiar de cálculo de primer año, obtenemos $1/(t-3)+C$ . Para evaluar $C$ , poned $t=4$ . Rápidamente obtenemos $y(t)=-1/(t-3)+18$ .

Por lo que $t$ ¿es esto correcto? Afirmo que es sólo para $t >3$ . Para ver por qué, supongamos que $y$ representa el desplazamiento de una partícula en el momento $t$ . Entonces $\frac{dy}{dt}$ representa su velocidad.

La velocidad (y el desplazamiento) no están definidos en el momento $t=3$ . A partir de la información de que la velocidad en cualquier momento $t\ne 3$ es $-1/(t-3)^2$ y la información de que el desplazamiento en $t=4$ es $17$ podemos encontrar el desplazamiento en cualquier momento $t>3$ .

Pero no podemos retroceder más allá de la singularidad en el momento $t=3$ para llegar a cualquier conclusión sobre el desplazamiento en cualquier momento $t<3$ .

Del mismo modo, si nos hubieran dicho que el desplazamiento en digamos $t=1$ Podríamos encontrar el desplazamiento en cualquier momento $t<3$ pero no pudimos obtener información sobre $t>3$ .

Si queremos una fórmula "general" para el $\int\frac{-dt}{(t-3)^2}$ que se mantiene para un dominio lo más amplio posible, tendríamos que decir que $y=-1/(t-3)+C_1$ para $t>3$ y $y=-1/(t-3)+C_2$ para $t<3$ , donde $C_1$ y $C_2$ son constantes, posiblemente diferentes.

Pero lo más habitual es restringir el dominio, y como en nuestro ejemplo con la condición inicial $y(4)=17$ simplemente decimos que $y(t)=-1/(t-3)+18$ para $t>3$ .

A grandes rasgos, ocurre lo mismo en tu ejemplo de ecuación diferencial. Es de suponer que has resuelto la ecuación reescribiendo como $$\frac{dy}{y^2}=dx$$ luego integrando, y aplicando la condición inicial.

Mira lo que tienes por $y$ . (y su derivado) estalla en $x=1$ . Así que, como en el problema de integración con el que empecé, la información inicial sobre $x=0$ no puede dar ningún conocimiento sobre la función más allá de su singularidad en $x=1$ .

Supongamos ahora que tomamos su sugerencia $y(2)=-1$ . Al resolver la ED, obtenemos $-1/y=x+C$ Así que $C=-1$ Espero. Eso da $y=-1/(x-1)$ válido para $x>1$ .

Pero cambiar las cosas a $y(2)=1$ . Obtenemos $C=-3$ . Así que el posición de la singularidad puede verse afectada por la condición inicial. (Esto no puede ocurrir en los ejemplos de integración simple).