Visualización de un generador de $H^2(S^1 \times S^1)$

Question

¿Alguien sabe de una buena visualización para el generador de $H^2(S^1 \times S^1)$? (En cualquier coeficientes y cualquier teoría de cohomología). Deduzco podría ayudar a pensar en ello como el producto de las formas de dos ángulo, y estoy tratando de hacerlo más transparente para mí.

Mis disculpas si alguien ha preguntado esto antes; Buscado y no encontré nada.

Answer 1

Aquí es una visualización de la singular regular de la homología de la teoría con coeficientes en $\mathbb{R}$. El generador de $H_2$ va a ser el ciclo, que es "el colector" (esto se llama la clase fundamental). Desde nuestro colector está cerrada, no tiene límites, y no tiene $3$-en las células, lo que genera $\mathbb{Z}$ (prueba de contraste esto con $\mathbb{R}P^2$). Luego cohomology es sólo la "doble", por lo que son la asignación de este fundaental clase de un número usando nuestro cohomology elemento. $H^2$ debe ser generada por la clase que envía la clase fundamental a$1$$\mathbb{R}$. Podemos interpretar este generador de $H^2$ como la copa de productos de la $2$ generadores en $H^1$. Esto está muy bien explicado aquí con una imagen.

Esto no funcionará para otros cohomology de las teorías, y por el momento estamos seriamente tratando de hacer cálculos con ellos, necesitamos obtener muchas más herramientas y finalmente se dan cuenta de que casi nada es explícitamente computable, excepto para $\mathbb{C}P^N$, $\mathbb{R}P^N$, y quizá $S^N$ a veces, si tenemos suerte.

Adenda. Por la dualidad de Poincaré, $H^2(S^1 \times S^1)$ es isomorfo a $H_0(S^1 \times S^1)$. El último es infinito cíclico. De hecho, consdering el celular natural de la descomposición del toro, su $0$th celular homología es generado por el único $0$-célula.

Ampliando lo anterior, para homología, $H_0$ es generado por cualquier punto, $H_1$ es generado por los dos bucles, $H_2$ es generado por la totalidad de la superficie. Para cohomology, $H^0$ es generado por la superficie, $H^1$ es generado por el $2$ bucles, $H^2$ es generada por un punto. Ahora, el emparejamiento es el "cruce de emparejamiento." ¿En cuántos puntos de los correspondientes ciclos se cruzan? Por ejemplo, el generador de $H_2$ (la totalidad de la superficie) se cruza con el generador de $H^2$ (un solo punto) en $1$ punto. Y cada una de las $1$-ciclos ha trivial de vinculación con el "frente" del ciclo, pero trivial de vinculación con la misma. Esto es así porque puede ser deformado fuera a tener $0$ intersecciones.

Otra manera de ver esto. Por el universal coeficiente de teorema, $H^2(S^1 \times S^1)$ es isomorfo a $\text{Hom}(H_2(S^1 \times S^1), \mathbb{Z})$. Este es, más o menos, generado por la clase fundamental de el toro, es decir, más o menos, la suma de todos los simplices para un simplicial descomposición del toro.

Anexo 2. Otro truco útil para la comprensión de cohomology de colectores es Alexander dualidad. Si integramos $S%1 \times S^1$ en la $3$-esfera (lo que podemos de la imagen como $\mathbb{R}^3$), $H^2(S^1 \times S^1)$ es naturalmente isomorfo a la reducción de la $H_0$ del complemento. Por la misma razón, cualquier superficie que los límites de una región en $S^3$ ha trivial segundo cohomology.

Answer 2

A menudo ayuda a visualizar cohomology clases como la de Poincaré doble de la homología de las clases (o más específicas de sus representantes más). Deje $M$ ser un cerrado orientado $n$-colector. Para $x\in H^nM \cong Hom(H_nM,\mathbb Z)$ tenemos una doble clase de $P.D.(x)\in H_0M$. Deje $m\in M$ ser cualquier punto en representación de esta homología de la clase (si $M$ no está conectado elegir uno para cada componente). Ahora, con la intersección de emparejamiento tenemos que $x$ representa la homomorphism que es dado por la transversal de la intersección de la representante de $P.D.(x)$ con submanifolds representando $n$-homología de clases. Tenga en cuenta que un representante de un generador de $H_nM$ $M$ sí.

También se $kx$ es el homomorphism inducida por la intersección con el representante de la Poincaré dual que está recogiendo $k$ diferentes orientado puntos por cada componente.

Answer 3

Dos cosas que vienen a la mente son

1. Es el doble (en el sentido de universal coeficientes) para la clase fundamental, como Mike Miller dice, y

2. Corresponde a cualquier punto del toro por la dualidad de Poincaré, como Daniel Valenzuela dice.

La visualización a través de la dualidad de Poincaré puede parecer insuficiente, pero en realidad funciona, convenientemente interpretado (aumentada con Lefschetz la dualidad y noncompact la dualidad de Poincaré), para espacios sustancialmente más general que cerrado orientado a los colectores. Esta idea se conoce a veces como "geométrica cohomology"; se puede ver una descripción de la misma, por ejemplo, en estas notas (particularmente Conferencias 5 y 6), aunque no puedo hacer ninguna garantía en cuanto a su exactitud.