¿Es el subgrupo de residuos cuadráticos módulo $N = pq$ un grupo cíclico si $p$ y $q$ son números primos?

Question

Vi esta pregunta cuando es el grupo de residuos cuadráticos cíclica? y las respuestas a eso.

Tengo una pregunta similar. Asumir $N=pq$ donde $p$ y $q$ son números primos. Sabemos que $\mathbb{Z}^*_N$ no es cíclico. Mi pregunta es ¿qué puede decir sobre el subgrupo de residuos cuadráticos módulo $N$? ¿Es cíclico o no cíclico?

Answer 1

El producto directo de dos grupos cíclicos es cíclico si y solamente si sus órdenes son relativamente prima. Su grupo es un producto directo de grupos cíclicos de orden $(p-1)/2$ y $(q-1)/2$ respectivamente (los residuos cuadráticos módulo $p$ y modulo $q$), por lo que es cíclico si y sólo si $\gcd(p-1,q-1)=2$.

Answer 2

Deje $p$ $q$ ser primer. Si uno de los números primos es $2$ o $p=q$, luego los cuadrados forman un grupo cíclico. Esto es debido a que el pleno del grupo multiplicativo es cíclica, y si $g$ es una raíz primitiva de $2p$ o $p^2$, $g^2$ genera nuestro grupo de cuadrados.

Ahora vamos a $p$ $q$ ser distintos de los números primos impares. El grupo de residuos cuadráticos módulo $pq$ es el producto directo de dos grupos cíclicos de las órdenes de $\frac{p-1}{2}$$\frac{q-1}{2}$. Este va a ser cíclica, precisamente, si las órdenes de los dos grupos son relativamente primos.

Para asegurarse de que son relativamente primos, tenemos que tener al menos uno de los dos primos de la forma $4k+3$. Además, debemos tener $p\nmid q-1$$q\nmid p-1$. Hay infinitamente muchos pares de $(p,q)$ que satisfacen estos criterios. Por ejemplo, podemos dejar que la $p=3$ $q$ un primo de la forma $6k-1$.

También es fácil de producir un número infinito de pares de $(p,q)$ de distinta impares, números primos para que el grupo de los cuadrados no cíclico. La manera más fácil es dejar $p$ $q$ ser distintos de los números primos de la forma $4k+1$.