Quiero mostrar que la $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ no es diferenciable en a $0$.
Así que mi idea es mostrar que $g(x,y) = |xy|$ no es diferenciable, y luego argumentar que si $f$ eran diferenciables, entonces así que $g$ que es la composición de funciones diferenciables $\cdot^2$$g$.
Pero estoy atascado en cuanto a cómo hacer esto. En el caso variable, para mostrar que $q(x) = |x|$ no es diferenciable, puedo calcular el límite de $\frac{|x + h| - |x|}{h}$$h\to 0^+$$h\to 0^-$, muestran que los dos límites laterales son distintos, y a la conclusión de que el límite de $$\lim_{h\to 0}\frac{|x + h| - |x|}{h}$$ no existe.
La razón de esto es más fácil es que no tengo que tener en cuenta la derivada de la función $q$ a fin de calcular.
Pero en el caso de $g(x,y) = |xy|$, para mostrar que $g$ no es diferenciable en a $0$, tendría que demostrar que no existe una transformación lineal $\lambda:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ tal que
$$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\left||hk| - \lambda(h,k)\right|}{|(h,k)|} = 0$$
Pensé suponiendo que tenía una $\lambda$, y dejando $(h,k)\to (0,0)$ a lo largo de ambos $(\sqrt{t},\sqrt{t})$$(-\sqrt{t},-\sqrt{t})$$t\to 0^{+}$, pero esto no parece ir a ninguna parte constructiva.
