Ampliación del juego 'Adivina 2/3 de la media'

Question

En la teoría de los juegos, "Adivina $\frac{2}3$ de la Media' es un juego en el que $n$ se pide a la gente que elija un número real entre $0$ y $100$ inclusive. La persona con la respuesta más cercana a $\frac{2}3$ del valor medio gana. Se puede demostrar que existe un único equilibrio de Nash de estrategia pura en el que todos eligen el número $0$ .

(El razonamiento es que el número deseado no puede ser mayor que $\frac{2}3 \cdot 100$ para que cada uno elija entre $0$ y $\frac{2}3 \cdot 100$ . Luego iterar).

¿Podemos generalizar este juego? En concreto, digamos que se encuesta $n$ personas que eligen cada una un número real de un conjunto $S \subset \mathbb{R}$ . A partir de sus respuestas, se puede formar un vector $\vec{v}$ donde el $i$ a entrada es la $i$ la respuesta de la persona.

Ahora suponga que tiene la función $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ que es conocido por todos los $n$ personas. La persona cuyo valor está más cerca de $f(\vec{v})$ es el ganador. ¿Qué estrategia debe seguir cada uno de los $n$ ¿emplea la gente?

¿Podemos encontrar funciones y conjuntos esencialmente diferentes de manera que todos acaben adivinando el mismo número? Por ejemplo, podríamos haber elegido una fracción diferente $< 1$ en lugar de $\frac{2}3$ pero en espíritu, este es el mismo ejemplo. También hay ejemplos de funciones y conjuntos en los que todos no acaban eligiendo la misma respuesta. Por ejemplo, si restringimos a las personas de nuestro ejemplo anterior a elegir sólo números enteros, entonces la estrategia es elegir $1$ o $0$ dependiendo de lo que creas que elegirá la mayoría de la gente.

Answer 1

Escojamos $f: S^n\rightarrow S$ donde $S \subset \mathbb{R}$ donde para $v \in S^n$ la persona más cercana a $f(v)$ gana.

Creo que deberíamos decir que $f$ es continua y $S$ está conectado, en el juego 2/3 $S$ sería $[0,100]$ y $f(x) = \sum_{i=1}^n\frac{2x_i}{3n}$

Si esto se cumple, un jugador racional debería elegir sólo números en $f(S)$ . Para cada número fuera de $f(S)$ hay una mejor elección - Al igual que es más razonable elegir 66,6 que 70.

Ahora usted toma $f(f(S)) =: f^2(S)$ y continuar con $f^3(S)$ ... El límite $n \rightarrow \infty$ de $f^n(S)$ te da el rango de números que un jugador racional debería elegir. Aunque, al igual que en el juego Guess-2/3, en una situación del mundo real no todos los jugadores son racionales, por lo que puede que no sea lo más inteligente ser racional.

Answer 2

Supongamos que $S$ es un intervalo compacto $[a,b]$ y considerar la función "punto más cercano" $$r(x)=\begin{cases}x;&x\in [a,b]\\a;& x<a\\b;&x>b\end{cases}$$

Ahora, define $g:S\mapsto S$ como $g(x)=r(f(x,x,\cdots,x))$ . Si $g$ es continua, entonces el Teorema del punto fijo de Brouwer garantiza que todos puedan ganar simultáneamente eligiendo el mismo valor (el punto fijo). Tenga en cuenta que exigir $g$ sea continua es una condición más débil que exigir $f$ para ser continua.