Cuspidal curva de $\mathbb{P}^1$ agregar un punto de grasa

Question

permítame hacerle una pregunta que mostrar mi pobre entendimiento de los tallos y rodeada de espacios.. espero que este ejemplo me va a ayudar a esclarecer el tema. Así que aquí vamos: he leído (en particular, de Michel Brion "propiedades Locales de la algebraicas grupo de acciones", por ejemplo 1.12) que "una cuspidal de la curva de $X$ puede ser obtenida a partir de a $\mathbb{P}^1$ mediante el envío de la grasa punto de $Spec(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1,\infty}/\mathfrak{M}^2$) a la cúspide $x$".

Tengo un tiempo difícil comprender el significado de esta frase. En particular:

1) ¿esto significa que la $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1,\infty}/\mathfrak{M}^2$ es isomorfo a$\mathcal{O}_{X,x}$, $X$ el cuspidal de la curva? Realmente no puedo ver, porque, dado $ZX^2=Y^3$ la homogénea de la ecuación de $X$$\mathbb{P}^2$, con la cúspide en $x=[0,0,1]$, $\mathcal{O}_{X,x}=\{\frac{F}{G}|F,G\in \mathbb{C}[X,Y,Z]/(ZX^2=Y^3),G([0,0,1])\neq 0\}$

2) Es cierto que, lejos de la cúspide $x$, los tallos $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1,t}$ $\mathcal{O}_{X,y}$ son isomorfos?

Answer 1

No, yo creo que una construcción diferente que se quiere decir aquí. Permítanme comenzar con un caso, que es más fácil de imaginar: Dado un resumen de la curva de $C$ y dos puntos de $P_1$$P_2$, podemos formar una nueva (en singular) de la curva de $C'$, donde se toma como un espacio topológico en el que se obtiene por el encolado de los puntos y como una estructura gavilla $\mathcal{O}_{C'}(U) = \{f \in \mathcal{O}_C| f(P_1) = f(P_2)\}$. Ahora, su caso es similar, pero en vez de unir dos puntos separados, contratar un doble punto en $\mathbb{P}^1$. Es decir, podemos definir una nueva curva, donde tenemos por ejemplo, el contrato de la grasa punto de $\mathbb{C}[t]/(t^2)$ a un punto cerrado y tomar como nueva estructura de la gavilla $\mathcal{O}_{C'}(U) = \{f \in \mathcal{O}_C| f'(0) = 0\}$.

Para convencerse, de que tenemos la cuspidal de la curva de $C$ por este procedimiento, considere la posibilidad de la birational mapa (en coordenadas afín): $\mathbb{A}^1 \rightarrow C$, $t \rightarrow (t^3, t^2)$. Es bijective y da como siempre un mapa de coordenadas de los anillos: $\mathbb{C}[x,y]/(x^2-y^3) \rightarrow \mathbb{C}[t]$, $ p(x,y) \rightarrow p(t^3, t^2)$. Sobre los tallos lejos de cero, esto va a ser un isomorfismo, pero por encima de cero no es surjective, ya que el polinomio $t$ no está en su imagen. La eliminación de $(t)$ como lo hicimos anteriormente corrige este (tenga en cuenta que el requisito anterior $f'(0) = 0$ dice exactamente, que $f$ como una suma de monomials no tiene ningún componente lineal).