Dejemos que $M_n$ el conjunto de matrices de orden $n \times n$ identificado con $\mathbb{R^{n^2}}$ e $S=\{A \in M_n ; x'=Ax$ es hiperbólico $\}$ . Demostrar que $S$ es abierto y denso $M_n$ .
Respuesta
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Sistema $$ \dot x=Ax $$ es hiperbólica si y sólo si no hay valores propios de $A$ con parte real cero.
En primer lugar, permítanme mostrar que $S$ está abierto. Como los valores propios son las raíces del polinomio característico, y las raíces son funciones continuas de los coeficientes, entonces si para algún $A$ no hay raíces con parte real cero, para algunas $B$ esto también será cierto, y por lo tanto $S$ está abierto.
Para demostrar que $S$ es densa, tome cualquier matriz no hiperbólica $A$ y asumir que está en la forma normal de Jordan. Ahora consideremos $B=A+\epsilon I$ . $B$ es hiperbólico y $\epsilon$ -cerca de $A$ Por lo tanto $S$ es denso.
