Grado topológico y homología

Question

Sea $f : \mathbb{S}^n \to \mathbb{S}^n$ una función continua.

Desde la homología, el grado $\deg_1(f)$ de $f$ puede definirse como el entero $n$ tal que $f_* : x \mapsto n \cdot x$, donde $f$ induce el morfismo $f_* : \mathbb{Z} \simeq H_n(\mathbb{S}^n) \to \mathbb{Z} \simeq H_n(\mathbb{S}^n)$.

Desde el grado topológico, el grado $\deg_2(f)$ de $f$ puede definirse como $\deg(\tilde{f},B^{n+1},0)$, donde $\deg$ es el grado de Brouwer como se define en el libro Teoría del Grado Topológico y Aplicaciones o en el artículo Una Teoría Analítica Elemental del Grado de Mapeo en el Espacio n-Dimensional y $\tilde{f} : \overline{B}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1}$ es una extensión continua de $f$ en la bola cerrada unitaria de $\mathbb{R}^{n+1}$.

(El entero $\deg_2(f)$ no depende de la elección de $\tilde{f}$.)

Pregunta: ¿Coinciden $\deg_1$ y $\deg_2$?

Creo que es cierto, pero probablemente no tengo suficiente conocimiento sobre la teoría de homología para encontrar una demostración rigurosa...

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Añadido: Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un conjunto abierto acotado, $f : \overline{\Omega} \to \mathbb{R}^n$ una función continua $C^1$ en $\Omega$ y $p \notin f(\partial \Omega)$ un valor regular de $f$. El grado de Brouwer de $f$ se define por $$\deg(f,\Omega,p)= \sum\limits_{x \in f^{-1}(p)} \mathrm{sign}(J_f(x))$$ donde $J_f$ es el determinante jacobiano de $f$.

Se puede mostrar que $\deg(g,\Omega,q)=\deg(f,\Omega,p)$ si $q$ es un valor regular de una función $g \in C^1(\overline{\Omega})$ tal que $\sup\limits_{x \in \overline{\Omega}} \|f(x)-g(x)\|$ y $\|p-q\|$ son suficientemente pequeños.

Usando el teorema de Sard y el teorema de aproximación de Stone-Weierstrass, podemos definir el grado de Brouwer de una función continua $f: \overline{\Omega} \to \mathbb{R}^n$ con respecto a un conjunto abierto acotado $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ y un punto $p \notin f(\partial \Omega)$ por $$ \deg(f,\Omega,p)=\lim\limits_{n \to + \infty} \deg(f_n,\Omega,p_n)$$ donde $(f_n)$ es una secuencia en $C^1(\overline{\Omega})$ que converge uniformemente a $f$ y $p_n$ es un valor regular de $f_n$ para cada $n$.

Answer 1

Creo que la respuesta a tu pregunta es sí. Aquí está el esbozo de la prueba. Primero podemos asumir que este mapa es suave. Por el teorema de Sard, elegimos un valor no crítico, digamos, p. Entonces p debe tener preimágenes $x_i$, i=1,...,k. Ahora la definición del grado de Brouwer es la suma de 1 o -1 por cada $x_i$ dependiendo de si el Jacobi es mayor (1) o menor (-1) que 0. Si consultas la página 136 de la topología algebraica de Hatcher, encontrarás la definición del grado local de f en $x_i, puedes verificar fácilmente que el grado local es 1 si el mapa es localmente orientado de forma positiva, es decir, con Jacobi positivo y viceversa. Y la definición homológica del grado es igual a la suma de los grados locales, ver Proposición 2.30 de la topología algebraica de Hatcher. Creo que acabo de dar una prueba, aunque algunos detalles quedan por verificar.

Answer 2

Puede encontrar la respuesta mirando el teorema de Amann-Weiss (1972) que ilustra la equivalencia de diferentes teorías de grados. Fue publicado en el artículo 'Sobre la unicidad del grado topológico' por Amann.