¿Es cierto esto?

Question

¿Es esto cierto?

Dado$f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R$. $f(g(x))=g(f(x))\iff f^{-1}(g^{-1}(x))=g^{-1}(f^{-1}(x))$.

Encontré este problema cuando trato con un método de codificación, pero realmente no estoy familiarizado con las funciones. Por favor ayuda.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia : es cierto cuando$f$ y$g$ sean invertibles

Answer 2

Aplica$g^{-1}\circ f^{-1}$ a la ecuación$f(g(x))=g(f(x))$. Obtendrá:$$g^{-1}\left(f^{-1}\left(f(g(x))\right)\right)=g^{-1}\left(f^{-1}\left(g(f(x))\right)\right) En otras palabras, sabemos que$x=g^{-1}\left(f^{-1}\left(g(f(x))\right)\right)$.

Ahora deja $x=f^{-1}\left(g^{-1}(t)\right)$. Obtendrá:$$f^{-1}\left(g^{-1}(t)\right)=g^{-1}\left(f^{-1}\left(t\right)\right), que es lo que quiere.

Answer 3

Otros han cubierto el caso de que $f$ $g$ es invertible, y esto puede muy bien ser el significado de la pregunta original. Sin embargo, vale la pena señalar que la notación $f^{-1}(y)$ también se utilizan incluso cuando se $f$ no es inyectiva. En general, supongamos que $f:X\to Y$$A\subseteq Y$. A continuación, $f^{-1}(A)$ se define como el conjunto de $\{x\in X:f(x)\in A\}$.

A continuación, $f^{-1}(y)$ se define a ser $f^{-1}(\{y\})$, con la advertencia de que $f^{-1}(y)$ es ahora un conjunto, el cual puede contener más de un elemento o que puede estar vacío.

Ahora, en esta configuración general la respuesta a la pregunta original es todavía sí. De hecho, si $f$ $g$ mapa de $X\to X$ $f\circ g(x)=g\circ f(x)$ todos los $x\in X$ \begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\circ g^{-1}(y)&\Leftrightarrow& g\circ f(x)=y\\ &\Leftrightarrow& f\circ g(x)=y\\ &\Leftrightarrow& x\in g^{-1}\circ f^{-1}(y)\end {eqnarray*}

Es decir, $f^{-1}\circ g^{-1}(y)$ $g^{-1}\circ f^{-1} (y)$ contienen los mismos elementos; en otras palabras son iguales. De ello se desprende que $f^{-1}\circ g^{-1}(A)=g^{-1}\circ f^{-1}(A)$ cualquier $A\subseteq X$.

EDIT: Acabo de ver el $\Leftrightarrow$ en la pregunta; esta respuesta muestra el $\Rightarrow$ implicación.

Answer 4

Por supuesto, eso solo es cierto si existen$f^{-1}$ y$g^{-1}$. Pero luego, es fácil de mostrar:

Ser$y=f^{-1}(g^{-1}(x))$. Entonces obviamente$g(f(y))=g(f(f^{-1}(g^{-1}(x)))) = g(g^{-1}(x)) = x$.

Por otro lado, por suposición$f(g(y))=g(f(y))=x$. Por lo tanto $g^{-1}(f^{-1}(x)) = g^{-1}(f^{-1}(f(g(y)))) = g^{-1}(g(y)) = y = f^{-1}(g^{-1}(x))$

Answer 5

Como han dicho otros,$f$ y$g$ deben ser invertibles. Ahora recuerda la siguiente identidad:

Para cualquier función invertible$f,g$, se deduce que$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$.

Por lo tanto, tenga en cuenta que: $$\begin{align*} f \circ g=g \circ f &\iff (f \circ g)^{-1}=(g \circ f)^{-1} \\ &\iff g^{-1} \circ f^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} \\ &\iff f^{-1}\circ g^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} \\ \end {align *}$$ como desee.