Otros han cubierto el caso de que $f$ $g$ es invertible, y esto puede muy bien ser el significado de la pregunta original. Sin embargo, vale la pena señalar que la notación $f^{-1}(y)$ también se utilizan incluso cuando se $f$ no es inyectiva. En general, supongamos que $f:X\to Y$$A\subseteq Y$. A continuación, $f^{-1}(A)$ se define como el conjunto de $\{x\in X:f(x)\in A\}$.
A continuación, $f^{-1}(y)$ se define a ser $f^{-1}(\{y\})$, con la advertencia de que $f^{-1}(y)$ es ahora un conjunto, el cual puede contener más de un elemento o que puede estar vacío.
Ahora, en esta configuración general la respuesta a la pregunta original es todavía sí. De hecho, si $f$ $g$ mapa de $X\to X$ $f\circ g(x)=g\circ f(x)$ todos los $x\in X$ \begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\circ g^{-1}(y)&\Leftrightarrow& g\circ f(x)=y\\ &\Leftrightarrow& f\circ g(x)=y\\ &\Leftrightarrow& x\in g^{-1}\circ f^{-1}(y)\end {eqnarray*}
Es decir, $f^{-1}\circ g^{-1}(y)$ $g^{-1}\circ f^{-1} (y)$ contienen los mismos elementos; en otras palabras son iguales. De ello se desprende que $f^{-1}\circ g^{-1}(A)=g^{-1}\circ f^{-1}(A)$ cualquier $A\subseteq X$.
EDIT: Acabo de ver el $\Leftrightarrow$ en la pregunta; esta respuesta muestra el $\Rightarrow$ implicación.