Si$M$ es Noetherian o Artinian y$M^{(n)}\cong M^{(m)}$, entonces$m=n$.

Question

La pregunta es:

Probar que si $_RM$ es artinian o noetherian y si $m,n\in\mathbb{N}$$M^{(m)}\cong M^{(n)}$,$m=n$. Aquí, $M^{(m)}$ denota la suma directa de $m$ veces $M$.

Yo había tratado de resolver mediante la inducción de más de $n$ y un isomorfismo entre el$M^{(n)}/M$$M^{(n-1)}$, pero tengo muchos problemas con eso.

Hay una sugerencia (y no me puedo imaginar cómo usar): Utilizar el siguiente lema

Deje $M$ ser un módulo y deje $f$ ser un endomorfismo de $M$.

$(1)$ Si $M$ es Artinian, a continuación, $\operatorname{Im}\, f^n + \ker\, f^n=n$ algunos $n$, de donde $f$ es un automorphism si y sólo si $f$ es monic;

$(2)$ Si $M$ es Noetherian, a continuación, $\operatorname{Im}\, f^n\cap \ker\, f^n=0$ algunos $n$, de donde $f$ es un automorphism si y sólo si $f$ es épico.

Answer 1

Si$M^{(m)} \cong M^{(n)}$ a través del mapa$g$ y asumimos$n<m$, entonces si$f: M^{(n)} \to M^{(m)}$ es un mapa de inclusión, tenemos$g \circ f$ es un monomorfismo de$M^{(n)}$ Pero si$M$ y por lo tanto$M^{(n)}$ es Artinian, esto significa que$g \circ f$ es un automorfismo. Pero esto es imposible porque entonces$f$ es un isomorfismo, y asumimos que era solo un mapa de inclusión.

¿Esto ayuda?