Límite de la anidados radicales $\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\cdots}}}$

Question

Posibles Duplicados:
En la secuencia de $x_{n+1} = \sqrt{c+x_n}$

¿De dónde viene esta secuencia converge? $\sqrt{7},\sqrt{7+\sqrt{7}},\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7}}}$,...

Answer 1

Para una prueba de convergencia,

Definir la secuencia de como

$\displaystyle x_{0} = 0$

$\displaystyle x_{n+1} =\sqrt{7 + x_n}$

Tenga en cuenta que $\displaystyle x_n \geq 0 \ \ \forall n$.

Observe que $\displaystyle x^2 - x - 7 = (x-a)(x-b)$ donde$\displaystyle a \lt 0$$\displaystyle b \gt 0$.

Le reclamo las siguientes:

i) $\displaystyle x_n \lt b \Longrightarrow x_{n+1} \lt b$
ii) $\displaystyle x_n \lt b \Longrightarrow x_{n+1} \gt x_n$

Para una demostración de i)

Tenemos que

$\displaystyle x_n \lt b = b^2 - 7$ $x_n +7 \lt b^2$ , por lo que tomando raíces cuadradas $x_{n+1} \lt b$

Para una prueba de ii)

Tenemos que

$\displaystyle (x_{n+1})^2 - (x_n)^2 = -(x^2_n - x_n -7) = -(x_n-a)(x_n-b) \gt 0$ si $x_n \lt b$.

Por lo tanto $\displaystyle \{x_{n}\}$ es monótona creciente y acotada arriba y así es convergente.

Mediante el establecimiento $L = \sqrt{7+L}$, podemos ver fácilmente que el límite es de $\displaystyle b = \dfrac{1 + \sqrt{29}}{2}$

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De hecho, se puede demostrar que la convergencia es lineal.

$\displaystyle \dfrac{b-x_{n+1}}{b-x_n} = \dfrac{b^2 - (7+x_n)}{(b+\sqrt{7+x_n})(b-x_n)} = \dfrac{1}{b + x_{n+1}}$

Por lo tanto $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{b-x_{n+1}}{b-x_n} = \dfrac{1}{2b}$.

También se puede mostrar algo un poco más fuerte:

Deje $\displaystyle t_n = b - x_n$.

La hemos demostrado anteriormente que el $\displaystyle t_n \gt 0$ $\displaystyle t_n \lt b^2$

Tenemos que

$\displaystyle b - t_{n+1} = \sqrt{7 + b - t_n} = \sqrt{b^2 - t_n}$

Dividiendo por $\displaystyle b$ a lo largo obtenemos

$\displaystyle 1 - \dfrac{t_{n+1}}{b} = \sqrt{1 - \dfrac{t_n}{b^2}}$

El uso de $\displaystyle 1 - \dfrac{x}{2} \gt \sqrt{1-x} \gt 1 - x \ \ 0 \lt x \lt 1$ tenemos que

$\displaystyle 1 - \dfrac{t_n}{2b^2} \geq 1 - \dfrac{t_{n+1}}{b} \geq 1 - \dfrac{t_n}{b^2}$

Y así

$\displaystyle \dfrac{t_n}{2b} \leq t_{n+1} \leq \dfrac{t_n}{b}$

Esto nos da que $\displaystyle b - \dfrac{b}{b^n} \leq x_n \leq b - \dfrac{b}{(2b)^n}$

Answer 2

Pista: Es moralmente converge a $\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+.....}}}$. Llamar a este límite de $l$. Entonces, desde el anidado de la serie de raíces cuadradas se extiende indefinidamente, $l=\sqrt{7+l}$

Answer 3

SUGERENCIA: acabo de asistir el caso de $x=6$, y mediante el uso de similar abordar maneras, usted puede fácilmente resolver el caso de $x=7$. Aquí usted puede encontrar una posible acercarse estilo, y bastante rápido. Por supuesto, este problema puede ser abordado de diversas maneras.