Durante los últimos meses, he estado visitando el análisis complejo elemental.
Mi contacto con el análisis complejo se limita prácticamente al material de tres libros: Ahlfors, Bak/Newman y Churchill/Brown. Churchill/Brown no me interesa mucho, pero los otros dos me gustan mucho.
Tanto Ahlfors como Bak/Newman abren la madriguera del conejo demostrando el Teorema de la Integral de Cauchy para funciones analíticas en un rectángulo, y luego para funciones analíticas en un rectángulo excepto para (ostensiblemente) un conjunto finito de puntos.
A continuación, ambos muestran la fórmula de Cauchy que representa la función como una integral de contorno sobre una circunferencia.
Después, las cosas empiezan a divergir.
Bak/Newman desarrolla la representación de series de potencias para las funciones analíticas, y la utiliza para demostrar que las funciones analíticas son infinitamente diferenciables. De ahí obtiene el teorema de Morera, el teorema de la unicidad, etc.
En cambio, Ahlfors procede a diferenciar la fórmula de Cauchy bajo la integral para demostrar que una función analítica es infinitamente diferenciable, para obtener el teorema de Morera, el teorema de la unicidad, etc., sin mencionar realmente las series de potencias. Deja las series de potencias para un desarrollo (ligeramente) posterior.
(Una cosa que me gusta del enfoque de Ahlfors es que, hasta donde yo sé, se puede derivar la diferenciabilidad de las series de potencias dentro de su radio de convergencia sin usar el mismo tipo de $\delta - \epsilon$ argumentos que utiliza Bak/Newman).
Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe un sentimiento general sobre si un enfoque es mejor que el otro en términos de alguno/todos los siguientes criterios? Belleza; Facilidad de instrucción; Comprensión más profunda del tema; Utilidad en las aplicaciones; (Otros criterios)?
Cualquier idea es más que bienvenida.
