Sé que puedo encontrar el máximo de esta función utilizando derivadas, pero ¿hay alguna otra forma de encontrar el máximo que no implique derivadas? ¿Quizás usar una desigualdad o identidad bien conocida?
$f(x)=\sin(2x)+2\sin(x)$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La idea es utilizar $\sin^2 x + \cos^2x = 1$ para reducir a tratar con sólo 1 función trigonométrica, y luego proceder como una desigualdad estándar de 1 variable.
Queremos encontrar el máximo de $f(x) = \sin 2x + 2 \sin x = 2 \sin x ( 1 + \cos x )$ .
Está claro que podemos asumir $\sin x \geq 0, \cos x \geq 0$ para maximizar este producto.
Consideremos $$[f(x)]^2 = 4 \sin^2 x ( 1 + \cos x)^2 = 4 (1-\cos^2x ) ( 1 + \cos x)^2 = 4 ( 1 - \cos x ) ( 1 + \cos x)^3 $$
Por AM-GM, aplicado a $ 3(1-\cos x) , (1 + \cos x), (1 + \cos x), (1 + \cos x)$ , obtenemos que
$ \sqrt[4]{3 ( 1 - \cos x ) ( 1 + \cos x)^3} \leq \frac{ 6}{4}$ o que $ ( 1 - \cos x ) ( 1 + \cos x)^3 \leq \frac{27}{16}$ .
Por lo tanto, $ [f(x)]^2 \leq \frac{27}{4}$ así que $f(x) \leq \frac{3 \sqrt{3} } {2} $ .
Queda por comprobar que la igualdad puede darse, lo que ocurre en $3(1-\cos x) = 1 + \cos x$ de $\cos x = \frac{1}{2}$ .
Farkhod Gaziev
Puntos
6
Como ha observado Calvin Lin $\sin x,\cos x>0 \implies 0\le x\le \frac\pi2$ $\implies 0\le 2x\le \pi\implies0\le \pi-2x\le \pi$
Como la función seno es cóncavo en $[0,\pi]$ $$\sin2x+2\sin x$$
$$=\sin(\pi-2x)+\sin x+\sin x\le 3\sin\frac{(\pi-2x+x+x)}3=3\sin\frac{\pi}3=\frac{3\sqrt3}2$$ la igualdad se produce cuando $x=x=\pi-2x$ es decir, cuando $x=\frac\pi3$
