Resuelve$(xz)^2+(yz)^2=(xy)^2$ sobre los enteros

Question

Estoy intentando resolver$(xz)^2+(yz)^2=(xy)^2$ sobre los enteros. Hasta ahora, tengo ese$x^2+y^2=\Big(\frac{xy}{z}\Big)^2$, y puedo representar el triple$(x,y,xy/z)$ como un triple pitagórico ($m,n\in \mathbb{Z})$:

$$x=m^2-n^2$ $$$y=2mn$ $$$\Big(\frac{xy}{z}\Big)=m^2+n^2$ $

Pero, no estoy seguro de cómo proceder desde aquí. Al resolver por$z$ en la última ecuación se obtiene$z = \frac{xy}{m^2+n^2}$, y como$z$ se supone que es un número entero, no estoy seguro de a dónde ir desde aquí. Una sugerencia sería apreciada.

Answer 1

Si$a^2+b^2=c^2$ entonces$x=ac$,$y=bc$,$z=ab$ es una solución.

Por el contrario, suponga que$x,y,z$ no tiene un factor en común.

Digamos$$x=ac$$ and $$y=bc$$ with $ (a, b) = 1 $. Entonces$$(acz)^2+(bcz)^2=(abc^2)^2$ $

$$(az)^2+(bz)^2=(abc)^2$$ this implies that $ z = abd$, since $ a$ and $ b $ son relativamente primos. Por lo tanto, tenemos$$(ad)^2+(bd)^2=c^2$$ which gives that $ d | c$ and thus $ d$ is a common factor of $ x, y, z$ so $ d = 1$ and we have $ z = ab $, y que$$a^2+b^2=c^2.$ $