Si$H<G$ es abelian, y$\chi(1)=[G:H]$ para irreducible$\chi$, entonces$H$ contiene un subgrupo normal no trivial?

Question

Supongamos $\chi$ es una irreductible carácter de un grupo finito $G$, e $H$ es un trivial abelian subgrupo tal que $\chi(1)=[G:H]$. ¿Por qué $H$ contienen un trivial subgrupo normal?

Entiendo que $$ \chi(1)=\chi|_H(1)\leq(\chi|_H,\chi|_G)\leq [G:H](\chi,\ji)=[G:H]=\chi(1) $$ Así que tengo igualdad en todo. Desde $(\chi|_H,\chi|_H)=[G:H]$, sé que $\chi$ se desvanece en $G\setminus H$, por lo que, necesariamente, $\ker\chi$ $Z(\chi)$ $H$ al menos. Estos son normales en $G$, así que si son triviales, en la que se explique. Desde $\ker\chi\subseteq Z(\chi)$, creo que tendría sentido para mostrar $Z(\chi)$ es trivial. Esto pasaría a ser verdad, o debería estar mirando para otro subgrupo?

Por simplicidad, estoy trabajando sobre $\mathbb{C}$.

Answer 1

Este es el ejercicio (2.17) de la teoría del carácter de Isaacs de los grupos finitos . Con Lemma (2.29) de ese libro, puede ver que$\chi$ desaparece fuera de$H$. Ahora mira el subgrupo$N = \langle g \in G : \chi(g) \neq 0 \rangle$. Obviamente$N \subseteq H$ por lo tanto$N$ es abelian. Este subgrupo es normal (la conjugación no cambia el valor del carácter) y no es trivial (de lo contrario, el% irreductible$\chi$desaparecería fuera del elemento de identidad, lo que no tiene sentido).