Encontrar las raíces de una ecuación cuadrática compleja que tiene una raíz puramente imaginaria

Question

Considere : $$P(z)= z^4 - 2z^3 + 6z^2 - 8z + 8$$ Como dice el título, encuentra las raíces de esta ecuación cuadrática compleja que tiene una raíz puramente imaginaria.

Necesito ayuda con este problema, soy nuevo con el ''mundo complejo''. Esto es lo que pensé: Dado un número complejo: $z= a + bi$ donde $a,b\in\mathbb C$ Sabemos que $P(z)$ tiene una raíz imaginaria pura, entonces: $$P(bi)= (bi)^4 - 2(bi)^3 + 6(bi)^2 - 8(bi) + 8= 0$$ Pero estoy atascado aquí, no sé cómo proceder o si el razonamiento fue correcto. Cualquier ayuda sería útil.

Answer 1

Una pista:

$i^2=-1$

Esto da $$b^4+2b^3 i-6b^2-8bi+8=0 $$ Ahora utiliza el hecho de que un número complejo es cero si y sólo si su parte real e imaginaria son cero.

Esto te dará un sistema de dos ecuaciones. Encuentra la solución común a ellas.

Answer 2

Dado que los coeficientes de $P$ son números puramente reales, si $bi$ es una raíz de $P(z)$ entonces también lo es $\bar{bi}=-bi$ . Por lo tanto, $(z-bi)(z+bi)=z^2+b^2\mid P(z)$ . Así que $$P(z)=(z^2+b^2)(z^2+az+c)=z^4+az^3+(c+b^2)z^2+ab^2z+b^2c$$ para algunos $a,c\in\Bbb C$ . Comparar los coeficientes con lo que sabemos $P(z)$ a ser.

Answer 3

Una pista:

Si $ki$ es una solución también $-ki$ es una solución y el polinomio se puede factorizar como $$(z^2+k^2)(az^2+bz+c)$$

¿puede encontrar $a,b,c,k$ ?

Answer 4

PISTA... Si $z=ai$ es una raíz puramente imaginaria, entonces también lo es $z=-ai$ ya que todos los coeficientes del polinomio son reales.

Por lo tanto, $(z^2+a^2)$ es un factor.

Por lo tanto, podemos factorizar el polinomio en la forma $$(z^2+a^2)(z^2+bz+c)$$

es entonces una cuestión simple para comparar los coeficientes y encontrar $a,b,c$