Adicional a esta pregunta, Un duro Cúbicos ecuación Diophantine he considerado el más general de la ecuación de $N=x^3+y^3+z^3-2xyz$.
Como $x^3+y^3+z^3-2xyz$ es homogéneo, cualquier solución de $(N_0,x_0,y_0,z_0)$ $x^3+y^3+z^3-2xyz=N$ofrece un conjunto de soluciones de $(k^3N_0,kx_0,ky_0,kz_0)$.
En particular, cualquier solución positiva $N$ da una solución para$-N$$k=-1$, por lo que no es necesario considerar más negativo $N$
Por ejemplo, $(N,x,y,z)=(13,-3,2,2)$ da $(-13,3,-2,-2)$
Claramente, $(x,y,z)$ son intercambiables.
Usando una pequeña búsqueda a a $N=152$ me he encontrado, con $a,b,k$ entero, sólo
$$(N,x,y,z)=(0,-a,0,a)$$
$$(N,x,y,z)=(19k^3,(-b-1)k,3k,(b-1)k)$$
Ejemplos como $(N,x,y,z)$
$$(0,-45,0,45)$$ $$(19,-6,3,4)$$ $$(152,-12,6,8)$$
Me he dado cuenta de otro $N$ que parecen posibles candidatos, pero no ha detectado los patrones. Por ejemplo,
$$(9,-1575,583,1163)$$ $$(9,-944,522,545)$$ $$(9,-703,-198,838)$$ $$(9,-323,-187,457)$$ $$(9,-167,80,108)$$ $$(9,-162,86,97)$$ $$(9,-47,-34,72)$$ $$(9,-7,4,4)$$ $$(9,-2,1,2)$$ $$(9,0,1,2)$$ $$(9,1,2,2)$$
Otros $N$ valores que se ven interesantes son $6,17,33,37,48,51,72,93,96,107,114,117,136$
Mi pregunta:
Aparte de $0$ y los números de la forma $19k^3$, por lo $N$, $N=x^3+y^3+z^3-2xyz$ tiene infinito número entero soluciones?
Actualización 5 de Marzo de 2018
Yo también estoy interesado en:
los valores de $N$ donde todas las soluciones son conocidas
los valores de $N$ donde se puede demostrar que hay un número finito de soluciones
los valores de $N$ donde se puede demostrar que no existen soluciones.
