¿Hacer $n=2m+1$ y $\big(2^m\bmod(m\cdot n)\big)\in\{n+1,3n-1\}$ $n$ primer implican?

Question

Do $n=2m+1$ $\big(2^m\bmod(m\cdot n)\big)\in\{n+1,3n-1\}$ implican $n$ prime?

De manera equivalente, para$n=2m+1$, $2^m\equiv\pm1\pmod n$ $2^m\equiv2\pmod m$ implican $n$ prime?
_{Nota: la equivalencia se sigue del Teorema del Resto Chino para $m>2$, y el examen de otra manera. $2^m\equiv\pm1\pmod n$ es una prueba de Euler para $n$.}

Lo que si le sumamos el más fuerte de los requisitos que $2^{(m-1)/2}\equiv\pm1\pmod m$ ? Que $m$ pasar el fuerte pseudoprime de prueba a la base 2?

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El $n$ $m$ prime que pasar la prueba incluyen todos los seguros de los números primos (OEIS A005385) por encima de $5$. El correspondiente $m$ son números primos de Sophie Germain (OEIS A005384).
_{Prueba: la seguridad de los números primos $p=2q+1$ $2^q\equiv\pm1\pmod p$ por criterio de Euler, y coincide $2^q\equiv2\pmod q$ por Fermat poco teorema.}

No puedo probar que por el contrario, el $n=2m+1$ $m$ prime que pasar la prueba no incluyen nada, pero el seguro de los números primos.

Hay un par de $n$ que pasa la prueba, denominada pseudo-caja de seguridad-de los números primos, A300193; términos menos de $2^{42}$ b300193; la primera:

683, 1123, 1291, 4931, 16963, 25603, 70667, 110491, 121403, 145771, 166667, 301703, 424843, 529547, 579883, 696323, 715523, 854467, 904103, 1112339, 1175723, 1234187, 1306667, 1444523, 2146043, 2651687, 2796203, 2882183, 3069083, 3216931, 4284283, 4325443, 4577323, 5493179, 5764531, 9949943, 

La más pequeña, incluso, $m$ son para $n=252\,435\,584\,573$, $1\,200\,060\,997\,853$, $2\,497\,199\,739\,653$, $453\,074\,558\,824\,253$... que son principales. Cualquier incluso $m$ es una pseudoprime (OEIS A006935).

Todos los impares $m$ son pseudoprimes (OEIS A001567) aprobar una prueba de Fermat, con el correspondiente $n$ pasando de un fuerte pseudoprime de la prueba.

Answer 1

Después de que Pedro Košinár la respuesta/comentario, es asentado que la respuesta al título de la pregunta es no. Y que incluso el más fuerte de los requisitos de: $n=2m+1$, $2^m\equiv\pm1\pmod n$, y $2^{(m-1)/2}\equiv\pm1\pmod m\ $ do no implican $n$ prime. Muchas de las $m=(4^p-1)/3$ $p$ primer resultan ser contraejemplos, incluyendo la $p$ entre

23, 29, 41, 53, 89, 113, 131, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 

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Preguntas abiertas restantes:

1. ¿$n=2m+1$, $n$ Y $m$ pasando el fuerte pseudoprime de prueba a la base 2 implican $n$ prime?
2. ¿$n=2m+1$, $m$ Primer, $2^{n-1}\equiv1\pmod n\ $ implican $n$ prime? Independientemente frecuentes aquí.

Parcial de la prueba de 2: si $n=2m+1$ $m$ el primer y el $2^{n-1}\equiv\pm1\pmod n\ $, luego por la Pocklington criterio $n$ es primo o $\gcd(2^2-1,n)=1$. El único resto del espacio está demostrando $n\not\equiv0\pmod3$.