¿Qué sabemos acerca de la geometría y la topología del espacio de la métrica de Riemannian con curvatura escalar no negativo en $\mathbb{R}^n$?

Question

En estos días estuve tratando de minimizar una de Riemann funcional en el espacio de Riemann métricas con no negativo escalar de curvatura de más de un colector, y de repente me doy cuenta que no sé nada acerca de cómo este espacio se ve como. En particular, ni siquiera sé si es un espacio vectorial, si es convexo, con forma de estrella, ruta de acceso conectado o conectado. Esto me llevó a hacer las siguientes preguntas.

Considere la posibilidad de $\mathcal{M}_{\geq 0}(\mathbb{R}^n)$ el espacio topológico de las métricas de Riemann en $\mathbb{R}^n$ que no negativos escalar de curvatura. Le damos la topología inducida por la inclusión $\mathcal{M}_{\geq 0}(\mathbb{R}^n)\subset C^{\infty}(T^0_2 \mathbb{R}^n)$ en el espacio de las secciones de (0,2)-tensores. $C^{\infty}(T^0_2 \mathbb{R}^n)$ tiene la norma dada por la costumbre producto interior entre (0,2) tensores integrado en el colector.

1. Es $\mathcal{M}_{\geq 0}(\mathbb{R}^n)$ conectado? Ruta de acceso conectado? $C^1$ ruta de acceso conectado? En forma de estrella? Convexo? Espacio vectorial?

2. Hay alguna interesante subconjunto denso? Por ejemplo, es el conjunto de no negativo de la sección transversal de la curvatura de un subconjunto denso?

3. ¿Qué sucede si en lugar de considerar el escalar de curvatura, que es el primer primaria simétrica de la función en los valores propios de la (2,2) tipo de tensor de Riemann que consideremos otras primaria simétrica funciones?

4. Si consideramos un genérico $n$-colector, el espacio de $\mathcal{M}_{\geq 0}(\mathbb{M}^n)$ puede estar vacía, si no lo que sigue siendo cierto?

Answer 1

He aquí un ejemplo que muestra que $\mathcal{M}_{\geq 0}(M)$ no es cerrado bajo la adición en general. No puede ser más fácil ejemplos, pero este es el único que he conocido.

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Deje $\pi : \widetilde{M} \to M$ una cubierta mapa. Supongamos $g$ es una métrica de Riemann en $\widetilde{M}$ tal que $f^*g = g$ para todos los de la cubierta de transformaciones $f$. Entonces no es una métrica de Riemann $h$ $M$ tal que $\pi^*h = g$. Tenga en cuenta que $s_g = s_{\pi^*h} = \pi^*s_h =s_h\circ \pi$. Como $\pi$ es surjective, las funciones de $s_g$ $s_h$ son determinados por el uno al otro.

Ahora, vamos a $X$ ser un no-spin de superficie compleja que surge como una completa intersección en algunos complejo proyectiva del espacio (por ejemplo, un suave hipersuperficie de $\mathbb{CP}^3$ con grado impar $d \geq 5$), y deje $N = S^2\times S^2/\mathbb{Z}_2$ cuando la $\mathbb{Z}_2$ acción es generado por $\sigma(x, y) = (-x, -y)$. Set $M = X\# N$. A continuación, la universalización de la cobertura de $M$$\widetilde{M} = X\# X \#(S^2\times S^2)$, e $\pi : \widetilde{M} \to M$ es una doble cubierta.

En el Escalar de curvatura, cubriendo espacios y Seiberg-Witten teoría, LeBrun mostró que $Y(M) < 0$ $Y(\widetilde{M}) > 0$ donde $Y$ denota la Yamabe invariante. En particular, $\widetilde{M}$ admite un escalar positivo de la curvatura de la métrica, mientras que $M$ no admite una métrica con no negativo escalar de curvatura.

Deje $f : \widetilde{M} \to \widetilde{M}$ ser el no-trivial de la cubierta de la transformación de $\pi$. Si $g$ es un escalar positivo de la curvatura de la métrica en la $\widetilde{M}$,$f^*g \neq g$, de lo contrario no sería positivo escalar de curvatura de la métrica $h$$M$$\pi^*h = g$. Tenga en cuenta que $f^*g$ es otra métrica de Riemann en $\widetilde{M}$, y como $s_{f^*g} = s_g\circ f$, también ha positiva escalar de curvatura. Ahora considere la métrica $\tilde{g} := g + f^*g$. Como $f^*\tilde{g} = \tilde{g}$, no es una métrica de Riemann $h$$M$$\pi^*h = \tilde{g}$. Como $M$ no admitir métricas con un valor no negativo escalar de curvatura y $s_{\tilde{g}} = s_h\circ\pi$, la métrica $\tilde{g}$ no tiene no negativo escalar de curvatura.

Por lo $g, f^*g \in \mathcal{M}_{> 0}(\widetilde{M}) \subset \mathcal{M}_{\geq 0}(\widetilde{M})$, pero $g + f^*g \not\in \mathcal{M}_{\geq 0}(\widetilde{M})$.

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Si sólo quería ser un ejemplo para mostrar (el resultado más débil) que $\mathcal{M}_{> 0}(M)$ no es cerrado bajo la adición en general, esto se desprende de un trabajo anterior realizado por Bérard Bergery. Señaló que existen ejemplos de finito revestimientos $\pi : \widetilde{M} \to M$ tal que $\widetilde{M}$ admite positivo escalar métricas, sino $M$ no. Por ejemplo, uno podría tener $M = S^2\times\mathbb{RP}^7\#\Sigma$ donde $\Sigma$ es un exótico $9$-esfera que no vinculado a un spin colector, la cual tiene el doble de la cubierta de la $\widetilde{M} = S^2\times S^7\#\Sigma\#\Sigma = S^2\times S^7$. Claramente $\widetilde{M}$ admite un escalar positivo de la curvatura de la métrica, pero resulta que $M$ no. De la misma manera como lo hicimos anteriormente, podemos utilizar este ejemplo para la construcción de dos métricas $g, f^*g \in \mathcal{M}_{> 0}(S^2\times S^7)$$g + f^*g \not\in \mathcal{M}_{> 0}(S^2\times S^7)$.