Probando el límite de un disco es un círculo

Question

Como sugiere el título, ya sé que el límite de un disco es el círculo con el mismo radio, pero lo que me interesa en realidad es probar ese hecho.

Recientemente he llegado a la sección de mi topología libro que trata con cierre, interior, y los límites de un subconjunto y he tenido una gran cantidad de problemas para encontrar cualquiera de estos para un subconjunto determinado. Sé lo que son, pero en realidad encontrar estas cosas para un determinado subconjunto es bastante difícil para mí.

Quiero enfatizar que cuando me dicen que es difícil, no quiero decir que no tengo idea de lo que son en referencia a ese subconjunto, pero que no sé cómo rigurosamente encontrar o demostrar que un conjunto es el cierre/límite/interior de la otra.

He utilizado el disco con límite circular principalmente como un trampolín ejemplo, si usted sabe de otro ejemplo que puede aclarar esto un poco más, siéntase libre de usar.

Soy consciente de que no existe un proceso que sin duda encontrará en cada tiempo, pero si hay alguna manera de pensar sobre la pregunta que puede ayudar a hacer un poco más fácil o algunos teoremas útiles para ayudar en la búsqueda de estas cosas, entonces yo estaría inmensamente agradecido.

Answer 1

Yo encuentro las siguientes caracterizaciones muy útil para la intuición y también los cálculos:

1. El interior de un conjunto $A$ es el mayor conjunto abierto que está contenida en $A$.

2. El cierre de un conjunto $A$ es el menor conjunto cerrado que contiene a $A$.

Así, por ejemplo, cuando se intenta argumentar que el disco $$D=\{x \in \mathbb{R}^n \mid \Vert x \Vert \leq1 \}$$ is the closure of the set $$U=\{x \in \mathbb{R}^n \mid \Vert x \Vert < 1 \},$$ you can ask yourself the following questions: "Is $D$ closed? And if yes, are there any other intermediate sets $U \subseteq B \subsetneq D$ que están cerradas?" Si usted puede comprobar que la respuesta de este último es no, entonces usted ha hecho por 2.

En orden a la conclusión de que el límite es $$S=\{x \in \mathbb{R}^n \mid \Vert x \Vert=1\}$$ you just need to observe that the interior of $U$ is $U$, because $U$ ya está abierto (ver 1.).

Answer 2

La esperanza que ayuda la siguiente prueba.

Tan con $B=B{r}(a)={x\in{\bf{R}}^{n}:|x-a|<r b="S{r}(a)={x\in{\bf{R}}^{n}:|x-a|=r}$.</p" demostrar="" que="" son="">Dadas $\epsilon>0$ y $x\in S{r}(a)$, tenemos que encontrar $x{\epsilon}\in B$, $y{\epsilon}\in B^{c}$ tal que $x{\epsilon},y{\epsilon}\in B{\epsilon}(x)$, esto demostrará la inclusión que $S_{r}(a)\subseteq \partial B$.

Que $\eta\in(0,\min{r,\epsilon})$, definimos que $x{\epsilon}=a+\eta\cdot\dfrac{x-a}{|x-a|}=a+\eta\cdot\dfrac{x-a}{r}$, $y{\epsilon}=x+\eta\cdot\dfrac{x-a}{|x-a|}=x+\eta\cdot\dfrac{x-a}{r}$, entonces tenemos $|x{\epsilon}-x|=\etar$, que $y{\epsilon}\in B^{c}$, que $|y_{\epsilon}-x|=\eta

Similar razonamiento que podemos demostrar que $\partial B\subseteq S_{r}(a)$.

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Answer 3

Un $ b $ está en el límite de un conjunto de $A$ si cada bola abierta B(b;r) contiene un punto dentro de $A$ y un punto fuera de $A$.

Nota que en la topología métrica dibujando un gráfico es a menudo útil.

Un disco $B(b;r )$ el límite es el círculo $d(x,b)=r $.

Porque cada bola abierta centrada en $x$ tiene puntos que $d(x,b)>r $ y que $d(x,b)<r>Así $x$ es un punto límite.

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