Por ejemplo, ¿cómo puedo encontrar enteros $a$ y $b$ que satisfacen la siguiente ecuación?
$$5a - 12b = 13$$
Siempre recurrí a ensayo y error cuando se hace algo como esto y más a menudo que no alcanzaría finalmente mi respuesta. Pero para este solo seguí y no sirve para nada. Así que finalmente trajo sobre la preocupación ensayo y error no siempre iba a trabajar.
Así que ¿cuál sería la mejor manera de obtener dos soluciones de enteros para la ecuación anterior?
Utilizar el Algoritmo euclidiano para encontrar el gdc de $5$ y $12$. $$12=5\times2+2$ $ $$5=2\times2+1$ $ Entonces se aplica el Algoritmo euclidiano extendido, (hacer el algoritmo inicial en marcha atrás con la sustitución de la parte posterior) $$1=5-2\times2$ $ $$1=5-2\times(12-5\times2)$ $ $$1=5\times5-2\times12$ $ entonces multiplicar todo por el $13$ % $ $$13=65\times5-26\times12$esto te da una solución particular $(a,b)=(65,26)$. La forma general de cualquier solución de una ecuación diofántica lineal se da así %#% $ #% donde $$a=a_0-\frac{12}{d}t,\ b=b_0-\frac{5}{d}t$ es cualquier número entero y $t$ es el máximo común divisor $d$ y $5$ $12$
El Algoritmo euclidiano es mejor para los números grandes, pero para un pequeño ejemplo como este, prueba y error, combinado con un poco de aritmética modular funciona muy bien y es menos trabajo. Reducción del $5a−12b=13$ modulo $12$, tenemos $a\equiv 1 \pmod{12},$ y $a\equiv 5 \pmod{12},$ por ensayo. Entonces claro que $a=5,$ $b=1$ es una solución.
Alternativamente, podríamos reducir modulo $5,$que $3b \equiv 3 \pmod{5},$ $b\equiv 1 \pmod{5},$ y otra vez encontrar que da de que $b=1$ $a=5.$
Guía:
Ya que sabemos que $5$ y $12$ son coprimos, usar Eucliean algoritmo para encontrar $x, y \in \mathbb{Z}$ tal que % $ $$5x+12y = 1$
Después de lo cual, multiplicar la ecuación por $13$.
En general a resolver para el $$Aa-Bb=C$$ where $A, B, C$ se le da.
Algoritmo euclidiano uso encontrar $\gcd(A,B)=D$, $D$ no divide $C$, entonces allí es no hay soluciones del número entero. De lo contrario, expresar $D$ como una combinación lineal de $A$ y $B$ y multiplicar la ecuación para obtener una solución particular.
Escribe la ecuación en términos de otra variable:
$$5a-12b=13 \iff a=\frac{13}{5}+\frac{12}{5}b$$
Ahora basta con ver que $13+12b \equiv 0 \pmod{5} \iff 12(b+1)+1 \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow b + 1= 5x +2,\, \forall x\in \mathbb{Z}$.
Por lo tanto las soluciones tienen la forma (sustituyendo $b=5x+1$ en la ecuación original)
$$a=12x+5, b = 5x+1, \, \forall x\in \mathbb{Z}$$
Ahora puede encontrar tantas soluciones de enteros como quieras.
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