Duda de polinomio

Question

Pregunta :

$x^4 + px^3 + qx^2 + px + 1 =0 $ tiene raíces reales. Entonces, ¿cuál es el valor mínimo de $ p^2 +q^2 $ .

Cómo empecé ?

Empecé dividiendo toda la ecuación por $x^2$ entonces tenemos $ (x + \frac{1}{x} ) ^2 + p (x + \frac{1}{x} ) + q - 2 = 0 $ A continuación, poner $(x + \frac{1}{x} ) = t$. Luego discriminante debe ser mayor que igual a cero. Pero ahora surge el problema de que $t$ no pertenece a $(-2,2)$ , por lo que, teniendo cuidado de que la parte conduce a la solución de la desigualdad que soy incapaz de hacer .

He comenzado de la manera correcta? Más de una cosa a notar es que la suma de las raíces de la ecuación es igual a la suma de los recíprocos de las raíces . Cómo proceder en el futuro ?

Answer 1

No sé cuánto va a ayudar, pero si utilizas este puede encontrar las raíces

\begin{eqnarray} x_1&=& -\frac{1}{4} \sqrt{p^2-4 q+8}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{p^2}{2}-\frac{-p^3+4 p q-8 p}{2 \sqrt{p^2-4 q+8}}-q-2}-\frac{p}{4},\ x_2&=& -\frac{1}{4} \sqrt{p^2-4 q+8}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{p^2}{2}-\frac{-p^3+4 p q-8 p}{2 \sqrt{p^2-4 q+8}}-q-2}-\frac{p}{4},\ x_3&=& \frac{1}{4} \sqrt{p^2-4 q+8}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{p^2}{2}+\frac{-p^3+4 p q-8 p}{2 \sqrt{p^2-4 q+8}}-q-2}-\frac{p}{4}, \ x_4&=& \frac{1}{4} \sqrt{p^2-4 q+8}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{p^2}{2}+\frac{-p^3+4 p q-8 p}{2 \sqrt{p^2-4 q+8}}-q-2}-\frac{p}{4} \end{eqnarray}

Y desde aquí la restricción

$$ p ^ 2 - 4q + \tag{1 > 0 +8} $$

Answer 2

No es una solución completa, pero podría ser una dirección para ir con: $$t = x + \frac{1}{x} \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \text{ for } x \in \mathbb R$ $

Queremos $t^2 + pt + q -2 = 0$ solución para $t$ como:

$$p^2-4(q-2) \ge 0 \text{ and }$$ $$\frac{-p+\sqrt{p^2-4(q-2)}}{2} \ge 2 \text{ or } \frac{-p-\sqrt{p^2-4(q-2)}}{2} \le -2$$

Entonces podríamos conseguir relaciones $p$ y $q$ y obtener el mínimo de $p^2 + q^2$.