¿Es la la matriz de $n \times n$$A_{ij} = (ij + 1)^m$, $m \geq n$ invertible?

Question

Considerar el $n \times n$ simétrico matriz, cuya entrada de $ij$-th se define en $A_{ij} = (ij + 1)^m$ y $m \geq n$. ¿Es esta matriz inversible?

Enfoques que he probado:

• Numérico intenta encontrar un contraejemplo en un rango de $n$ y $m$ han fracasado. Estos experimentos sugirieron que $A$ puede ser positivo definido.
• Un enfoque de Teorema del unisolvence no funciona, porque los polinomios de $n$ definiendo las filas o las columnas son de orden $m$ y evaluaron en $n \leq m$ puntos.

Answer 1

$A$ es positiva definida (y por lo tanto invertible) cuando $m+1\ge n$. Que $V$ ser la $n\times(m+1)$ Vandermonde matriz $$ \pmatrix{1 & 1 ^ 1 & 1 ^ 2, \cdots & 1 ^ m 1 y 2 ^ 1 y 2 ^ 2, \cdots & 2 ^ m \vdots & \vdots \vdots y \cdots & \vdots\ 1 & n ^ 1 & n ^ 2 & \cdots, n ^ m} $$ del binomio expansión, conseguimos $A=VDV^T$, donde $D=\operatorname{diag}\left(\binom{m}{0},\binom{m}{1},\ldots,\binom{m}{m}\right)$. $D$ Es positiva definida y $V$ tiene completo fila fila (porque $m+1\ge n$), $A$ es positiva definida.