¿Por qué los matemáticos no han ideado una forma eficiente de escribir "suficientemente", por ejemplo, "para $n$ suficientemente grande"

Question

Consideremos una prueba típica en un curso de introducción al análisis:

Reclamación: Dejemos que $(x_n)_\mathbb{N}$ y $(y_n)_\mathbb{N}$ sean secuencias convergentes en $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$ ) y que $x,y$ sean sus respectivos límites. Entonces $(x_n+y_n)_\mathbb{N}$ es convergente y su límite es $x+y$ .

Prueba: Dejemos que $\varepsilon >0$ . Existe $n_1$ resp. $n_2$ tal que $$\forall n \geq n_1, |x_n-x| < \varepsilon/2$$ resp. $$\forall n \geq n_2, |y_n - y| < \varepsilon/2.$$ Dejemos que $n_0 = \max(n_1,n_2).$ La desigualdad del triángulo implica que $$\forall n \geq n_0, |(x_n + y_n) - (x+y)| \leq |x_n - x| + |y_n - y| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon.$$ Esto demuestra la afirmación.

Como estudiante de primer año, esta es una estructura de prueba que surge un montón . Y sin embargo, una parte importante parece redundante. A saber, el valor real de $n_0$ que elegí no tiene casi ninguna importancia. Podría haber elegido también $n_1 + n_2$ o $\max(n_1,n_2)+52.$

Lo único importante es que $n_0$ ser mayor que ambos $n_1$ y $n_2$ lo cual es necesariamente posible debido a que $\mathbb{N}$ es totalmente ordenada y no acotada por encima.

Esta observación me ha llevado a crear una notación que utilizo ampliamente en mis notas y que me ahorra grandes cantidades de tinta. Esta notación es la siguiente:

Defino la notación $\mathbb{N}^\infty$ para significar "cualquier conjunto de la forma $\mathbb{N}\setminus \left\{0,\ldots,n_0\right\}$ donde $n_0 \in \mathbb{N}$ . (El $\infty$ -símbolo se supone que simboliza "lo suficientemente cerca del infinito"). Al igual que la notación little-oh y big-oh, $\mathbb{N}^\infty$ no se refiere a un objeto concreto, sino a un objeto genérico con una determinada propiedad. Sin embargo, $\mathbb{N}^\infty$ tienen la siguiente propiedad útil: cualquier intersección finita de $\mathbb{N}^\infty$ conjuntos es $\mathbb{N}^\infty$ . (Esto es algo así como cualquier suma finita de $o(f)$ funciones es $o(f).$ )

La última propiedad tiene la siguiente consecuencia:

Dejemos que $P_1,\ldots,P_k$ sean predicados sobre $\mathbb{N}.$ Supongamos que para todo $i=1,\ldots,k$ tenemos $$\forall n \in \mathbb{N}^\infty,P_i(n) \textrm{ is true}.$$ Entonces $$\forall n \in \mathbb{N}^\infty, (P_1(n)\wedge\ldots\wedge \ P_k(n)) \textrm{ is true}$$

Esto es sólo una forma elegante de decir "Si, en un conjunto finito de predicados, cada predicado es verdadero para una cantidad suficientemente grande $n$ , entonces para un tamaño suficientemente grande $n$ cada predicado es simultáneamente verdadero". Nótese que esto falla si el número de predicados es infinito.

Utilizando esta notación, la definición del límite puede escribirse como sigue:

Decimos que $(x_n)_\mathbb{N}$ tiende a algún número $x$ si para todo $\varepsilon >0,$ $$\forall n \in \mathbb{N}^\infty, |x_n - x| < \varepsilon.$$

Utilizando la propiedad que acabo de exponer, la prueba que di anteriormente también puede reescribirse:

Prueba: Dejemos que $\varepsilon >0$ . Entonces $$\forall n \in \mathbb{N}^\infty,|x_n - x| < \varepsilon/2$$ y $$\forall n \in \mathbb{N}^\infty,|y_n - y| < \varepsilon/2$$ por lo tanto por la desigualdad del triángulo, $$\forall n \in \mathbb{N}^\infty,|(x_n+y_n) - (x+y)| < \varepsilon.$$

Esta versión no sólo es más concisa, sino que en mi opinión es mejor desde el punto de vista pedagógico. Cuando un estudiante que no está familiarizado con el análisis lee la primera versión (véase más arriba), existe la posibilidad de que la construcción de $n_0$ (que como he dicho tiene poca o ninguna importancia), y se desviará del verdadero meollo de la prueba que es el uso de la desigualdad del triángulo. Por otro lado, si el mismo estudiante lee la segunda versión, suponiendo que entiende la notación, no se verá desviado por información que no es estrictamente necesaria para su comprensión conceptual de la prueba. Por último, y quizás lo más importante, no se pierde rigor al utilizar la $\mathbb{N}^\infty$ notación siempre que se entiendan bien las "reglas del juego".

De forma similar, para los límites funcionales utilizo la notación $I^a$ (donde $I$ es un intervalo y $a$ está en el cierre de $I$ ) para significar "la intersección de $I$ con algún intervalo abierto centrado en $a$ ". Aquí, el $a$ en el exponente pretende simbolizar "lo suficientemente cerca de $a$ ". Volvemos a tener la propiedad de que cualquier intersección finita de $I^a$ conjuntos es $I^a$ .

De forma similar a la anterior, esta notación nos permite simplificar las definiciones y las pruebas de una forma que, en mi opinión, no es negativa y es pedagógicamente fructífera.

Por último, me gustaría preguntar:

Dado que las nociones de "suficientemente grande" y "suficientemente cercana" son tan omnipresentes en el análisis, ¿por qué los matemáticos no han ideado una forma de transmitirlas de forma eficiente?

Answer 1

Tienen: la frase para un tamaño suficientemente grande $n$ se acuerda que sea clara y eficiente en cuanto a las palabras. Tal vez los estudiantes de primer año subestimen la cantidad de escritura que a veces se requiere en las pruebas.

Añadir

Esta versión no sólo es más concisa, sino que en mi opinión es mejor desde el punto de vista pedagógico.

No, según mi experiencia, abusar de los símbolos sólo ayuda a confundir a los estudiantes y hace que su redacción sea confusa y poco clara. Los estudiantes y los profesores son seres humanos y son bastante buenos en el uso de las palabras cuando se comunican, y esto no debe ser olvidado en el aprendizaje de las matemáticas.

Answer 2

Es bueno que intentes hacer las cosas más fáciles y claras. Pero no creo que la notación $\mathbb{N}^\infty$ es una buena: a mí me parece que $\mathbb{N}\cup \{\infty\}$ .

Desgraciadamente, inventar una buena notación que se utilice ampliamente es muy raro. Testigo de ello es el Soporte Iverson que es muy bonito, pero que nunca se puso de moda, ni siquiera cuando fue defendido por Knuth, nada menos. Por otro lado, La notación Big O de Landau estaba restringida principalmente a los analistas cuando fue llevada a las masas por los informáticos en el análisis de algoritmos.

La verdad es que no hay nada mejor que unas buenas y claras palabras.

La misma prueba con palabras me parece eficaz y clara:

Prueba: Dejemos que $\varepsilon >0$ . Entonces, para $n$ suficientemente grande, $$|x_n - x| < \varepsilon/2$$ y $$|y_n - y| < \varepsilon/2$$ Por lo tanto, por la desigualdad del triángulo, para $n$ suficientemente grande, $$|(x_n+y_n) - (x+y)| < \varepsilon.$$

He visto la notación como " $n \gg 1$ " utilizado para " $n$ suficientemente grande", pero no creo que quede claro por escrito. Puede que funcione en la pizarra.

Answer 3

Lo que sigue es una versión ligeramente editada de MathJax de mi post del 21 de diciembre de 2004 en sci.math Cuantificadores generalizados que discute una manera de economizar la escritura de algunas de las cosas que estás preguntando.

Dejemos que $\exists^{\infty}$ significa que "existen infinitos" y que $\forall^{\infty}$ significa "para todos menos para los finitos".

Se trata de los cuantificadores "existe" y "para todos", modulados por la noción de pequeñez "finita". Podrían considerarse otras nociones de pequeñez, como la de contable, la de exigua (= primera categoría de Baire) y la de medida de Lebesgue cero. Por supuesto, para utilizar las dos últimas nociones necesitamos que las variables sobre las que se cuantifica pertenezcan a espacios en los que estas nociones tengan sentido.

Negación $\sim$ distribuye a través de estos nuevos cuantificadores de la misma manera que distribuye a través de $\exists$ y $\forall :$

$$ (\sim)\left(\exists^{\infty}\right) \;\;\; \text{is the same as} \;\;\; \forall^{\infty}(\sim) $$

y

$$ (\sim)\left(\forall^{\infty}\right) \;\;\; \text{is the same as} \;\;\; \exists^{\infty}(\sim) $$

Se deduce que la negación de una secuencia finita de tales cuantificadores puede reescribirse utilizando el mismo método que se puede utilizar para reescribir la negación de una secuencia finita de cuantificadores ordinarios, es decir, cambiar todas las $\exists$ 's a $\forall$ y cambiar todos los $\forall$ 's a $\exists$ y luego tomar la negación de la expresión más a la derecha.

A menudo podemos utilizar estos nuevos cuantificadores para dar definiciones más cortas, como $``x_n$ converge a $L"$ puede expresarse como

$$(\forall \epsilon >0)\left(\forall^{\infty} n\right)(|x_n - L| < \epsilon).$$

La negación de esto se puede llevar a cabo formalmente de la manera que he descrito anteriormente. Así, $``x_n$ no converge a $L"$ se convierte en

$$(\exists \epsilon >0)\left(\exists^{\infty} n\right)(|x_n - L| \geq \epsilon).$$

Por otro lado, el $\liminf$ de una secuencia $\{A_n\}$ de conjuntos es $\{x: \; \left(\forall^{\infty} n\right)(x \in A_n)\}$ y el $\limsup$ de la secuencia $\{A_n\}$ de conjuntos es $\{x: \; \left(\exists^{\infty} n\right)(x \in A_n)\}.$

En estos y en otros aspectos, encontré la $\exists^{\infty}$ y $\forall^{\infty}$ cuantificadores bastante útiles en una clase de análisis real de posgrado que impartí en 2001.

Para los cuantificadores ordinarios tenemos el siguiente cuadro de fuerza lógica en el que ninguna implicación puede ser invertida (en general):

$$ (\forall)(\forall) \implies (\exists)(\forall) \implies (\forall)(\exists) \implies (\exists)(\exists) $$

El gráfico análogo también es válido para $\exists^{\infty}$ y $\forall^{\infty}:$

$$ (\forall^{\infty})(\forall^{\infty}) \implies (\exists^{\infty})(\forall^{\infty}) \implies (\forall^{\infty})(\exists^{\infty}) \implies (\exists^{\infty})(\exists^{\infty}) $$

No he investigado las relaciones lógicas para varias secuencias de estos cuatro tipos de cuantificadores, pero he observado que $\forall^{\infty}$ no conmuta con $\forall$ (y, por tanto, considerando las negaciones, $\exists^{\infty}$ no conmuta con $\exists .$

Más concretamente, $\;(\forall^{\infty})(\forall)\;$ es estrictamente más fuerte que $\;(\forall)(\forall^{\infty}).\;$ Por ejemplo, observe que $\;(\forall x \in {\mathbb R})(\forall^{\infty} n \in {\mathbb N})(x < n)\;$ es verdadera y $\;(\forall^{\infty} n \in {\mathbb N})(\forall x \in {\mathbb R})(x < n)\;$ es falso. La cuestión de fondo es que para que $\;(\forall^{\infty} r)(\forall s)\;$ para que sea cierto, necesitamos la existencia de una colección cofinita de $r$ cada uno de los cuales funciona uniformemente para cada $s.$ De hecho, para el ejemplo que he dado, no tenemos ni siquiera un $r$ que funciona uniformemente para cada $s.$

La distinción entre $\;(\forall^{\infty})(\forall)\;$ y $\;(\forall)(\forall^{\infty})\;$ es realmente un $(\exists)(\forall)$ versos $(\forall)(\exists)$ distinción si se miran las cosas de la manera correcta. Dejemos que $C$ sea una variable que recorra el conjunto de colecciones cofinitas de $r$ 's. Entonces $\;(\forall^{\infty} r)(\forall s)\;$ se convierte en $\;(\exists C)(\forall r \in C)(\forall s),\;$ lo que equivale a $\;(\exists C)(\forall s)(\forall r \in C),\;$ mientras que $\;(\forall s)(\forall^{\infty} r)\;$ se convierte en $\;(\forall s)(\exists C)(\forall r \in C).\;$ Tenga en cuenta que tenemos $\;(\exists C)(\forall s)\;$ en el primero y tenemos $\;(\forall s)(\exists C)\;$ en este último.

No he tratado de desarrollar estas ideas en un marco general, es decir, cuantificadores módulo varias nociones de pequeñez y cómo se relacionan lógicamente entre sí en relación con la forma en que las diversas nociones de pequeñez se relacionan entre sí, además de observar las cosas triviales como la más débil la noción de pequeñez (por ejemplo, la medida de Lebesgue cero es más débil que contable, que a su vez es más débil que finito), entonces el más fuerte y más débil son las versiones correspondientes de $\exists$ y $\forall.$

Answer 4

Su pregunta, centrada en $n_0$ parece expresar una preocupación oculta por los enunciados cuantificados existencialmente $\exists x \in X \,\, P(x)$ y sus pruebas. Para explicar lo que quiero decir con esto, permítanme escribir la definición de convergencia haciendo explícito el cuantificador existencial:

• $(x_n)_{\mathbb N}$ converge a $L$ si y sólo si $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\forall n \ge n_0$ , $|x_n-L|<\epsilon$ .

Con respecto a las pruebas que utilizan esta definición, usted escribe "El valor real de $n_0$ que he elegido no tiene casi ninguna importancia".

Creo que subestima el papel clave de los enunciados existenciales en las matemáticas. El valor del objeto cuya existencia intentas verificar tiene una importancia muy grande: si lo eliges mal, lo que intentas demostrar sobre ese objeto es falso. Para ver esto en un ejemplo más extremo, imagine que elige el $x$ cuando se intenta demostrar la afirmación " $\exists x \in \mathbb{R}$ tal que $x^2=2$ ".

Ocurre que al demostrar las afirmaciones de los límites, sólo hay un número finito de elecciones erróneas de $n_0$ y un número infinito de opciones correctas. Y sí, una vez que se ha hecho una elección correcta, se podría haber hecho cualquier otra elección correcta. Pero la clave aquí es que debe hacer una elección. Eso está obligado por la naturaleza del cuantificador existencial. Para demostrar $\exists x \in X \,\, P(x)$ Quiero que me muestre el $x$ y que verifique por mí que $P(x)$ es cierto con ese valor que me mostró. Entonces y sólo entonces aceptaré que has demostrado la afirmación.