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Cuando nos preguntamos "¿Qué significa esta expresión convergen?", normalmente nos referimos a "Si se corta este infinito expresión después de un cierto punto, usted obtiene un número. Como cortar la expresión más y más tarde, ese número se acerca más y más a algún valor de limitación. ¿Qué es que la limitación de valor?"
Sin embargo, con esto continuó fracción, se puede truncar en dos formas: después de una $2$, al pasar algo como $$ \cfrac{2}{3 - \cfrac2{3 - \cfrac2{3- \cfrac2{3 - 2}}}}, $$ o después de un $3$, al pasar algo como $$ \cfrac{2}{3 - \cfrac2{3 - \cfrac2{3- \cfrac2{3 - \cfrac23}}}}. $$ Con muchas fracciones continuas, tanto de estos como resultado la misma respuesta. Aquí, sin embargo, el corte de la expresión apagado cuando el número de "al final" es una $2$ siempre significa que todo el asunto se simplifica a $2$; cortarla cuando el número al final es una $3$ da un valor aproximadamente igual a $1$ (más precisamente, se da $\frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}$ donde $n$ es el número de $3$'s utilizado, y esto converge a $1$ $n \to \infty$).
Usted podría decidir que el primer tipo de truncamiento es el tipo que usted desea, en cuyo caso la continuación de la fracción converge a $2$. O usted puede decidir que el segundo tipo de truncamiento es el tipo que usted desea, en cuyo caso la continuación de la fracción converge a $1$. (Normalmente, el segundo tipo de truncamiento es utilizada por la convención para la continuación de las fracciones.)
Incluso puedes decidir que ambos tipos de truncamientos están bien, en cuyo caso la continuación de la fracción no converge: alterna entre valores iguales a $2$ y cerca de los valores de $1$. Esta es la opción que por lo general se escoge para la suma de $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$, por ejemplo: este tiene valores de $1$ o $0$ dependiendo de si nos cortan en un par o impar posición, pero no hay ninguna razón para elegir uno sobre el otro, así que podemos decir que no converge.
Creo que usted necesita para cuestionar la suposición de que usted necesita para rechazar una solución.
Probablemente esté pensando:
Pero este problema claramente sólo tiene una solución!
Pero, ¿por qué? No acaba de demostrar $x = \dfrac{2}{3-x}$ tiene dos soluciones?
Pero eso es una forma implícita de la ecuación. Esta es una explícita expresión. Una expresión no puede ser igual a 2 cosas!
Seguro que se puede. $\sqrt{-1}$ es una expresión, y sólo es igual a $i$ porque nos arbitrariamente decidió ignorar a $-i$.
Pero si quieres ignorar las cosas de forma arbitraria, puedes hacerlo aquí también-que es sólo una preferencia.
Pero, en fin, vienen en. Si usted cortar esta expresión, se verá claramente que sólo tienen un valor. Así que si usted sigue picar fuera más y más tarde, claramente no puede converger a dos valores?!
Oh, así que usted desea convergencia? En ese caso, no hay ninguna razón para creer que hay exactamente 1 solución. De hecho, estás de suerte si consigue alguna solución. Pero si eso es lo que quieres, ver las otras respuestas aquí.
El problema fundamental aquí es que no se ha definido el "$=$" operador de entre un número finito de valor y expresiones que tienen un número infinito de términos.
De hecho, existen múltiples definiciones, y dependiendo de la opción que elija, puede tener sentido para rechazar ninguna, alguna o todas de las soluciones.
Usted puede mirar la estabilidad de las soluciones. Comenzar con un $x_0$ cerca de una de sus soluciones y comprobar si $$x_1=\frac{2}{2-x_0}$$ is closer to that solution. So if $x_0=1+\epsilon$, where $|\epsilon|\ll 1$, we have $$x_1=\frac{2}{3-(1+\epsilon)}=\frac{2}{2-\epsilon}\approx\left(1+\frac{\epsilon}{2}\right)$ $ esto es menos a $1$ $x_0$, por lo que la solución es estable.
Repetimos el procedimiento para $x_0=2+\epsilon$. $$x_1=\frac{2}{3-(2+\epsilon)}\approx2(1+\epsilon)=2+2\epsilon$ $ Este $x_1$ es más $2$ $x_0$, por lo que la solución no es estable.
Anotaciones tales como $2$, $3$, $\mathord{\bullet} - \mathord{\bullet}$, $\dfrac{\mathord{\bullet}}{\mathord{\bullet}}$ (donde $\mathord{\bullet}$ representa una expresión) haber aceptado universalmente, que significa que tiene una precisa definición matemática: el número dos, el número tres, la resta, la división. No voy a estado de esas definiciones precisas aquí, lo importante es que estas definiciones existen. (De hecho, hay muchas posibles definiciones, y los matemáticos no están de acuerdo en que uno es "mejor", pero el punto importante es que todos están de acuerdo en que cualquiera que sea la definición que has elegido, los otros matemáticos definiciones son equivalentes).
Por otro lado, la notación $\ddots$ (llamados puntos suspensivos) no tiene un significado matemático preciso. Cuando se utiliza esta definición, es hasta usted para asegurarse de que sólo hay una interpretación posible.
Los puntos suspensivos es a menudo un atajo conveniente, pero debe tener cuidado cuando se utiliza. Si usted escribe $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 $$ entonces todo el mundo va a saber que significa la suma de los cuadrados de las $n$ primer enteros, que se podría escribir formalmente como $\sum_{i=1}^n i^2$. Si usted escribe $$ \color{darkred}{1 + 4 + \ldots + n^2} $$ aún así es una buena suposición, pero es una conjetura que no es tan sencillo, así que usted debe evitar. Y si usted escribe $$ \color{red}{1 + \ldots + n^2} $$ a continuación, hay más de una interpretación sensata ($\sum_{i=1}^n i^2$ o $\sum_{i=1}^{n^2} i$?), así que esto no es una buena notación.
Con una expresión anidada como la suya, la notación significa que "el límite de la secuencia con el aumento de los niveles de anidación". Esta definición sólo funciona si, para todas las formas de dividir la anidación, la expresión converge al mismo límite. De lo contrario, la definición es ambigua, por lo que la expresión " no denota un número.
Vamos a utilizar una forma particular de analizar la expresión anidada piezas: tomar la secuencia $$ 2, \quad \cfrac{2}{3 - 2}, \quad \cfrac{2}{3 - \cfrac{2}{3 - 2}}, \quad \ldots $$ que se puede definir más formalmente como $$ \begin{cases} x_0 &= 2 \\ x_{i+1} &= \dfrac{2}{3-x_i} \\ \end{casos} $$ Esta secuencia es constante: todos los términos tienen el valor de $2$, y, en particular, converge a $2$.
Ahora vamos cortamos de manera diferente: $$ \cfrac{2}{3}, \quad \cfrac{2}{3 - \cfrac{2}{3}}, \quad \cfrac{2}{3 - \cfrac{2}{3 - \cfrac{2}{3}}} $$ lo que es más formalmente definido por $$ \begin{cases} y_0 &= \dfrac{2}{3} \\ y_{i+1} &= \dfrac{2}{3-y_i} \\ \end{casos} $$ Aquí tenemos una secuencia que converge a $1$.
Desde el corte de la expresión de dos formas diferentes resultados en diferentes límites, la expresión $$ \cfrac{2}{3 - \cfrac{2}{3 - \cfrac{2}{3 - \cfrac{2}{\ddots}}}} $$ es ambiguo. No define un número.
¿Cómo sabemos que se limitan a rechazar? Hay dos respuestas posibles.
- La notación es ambiguo, por lo tanto, la expresión no es válida. Debemos rechazar.
- La notación es ambiguo, por lo tanto, es el autor de aclarar. Usted nos dice que uno a aceptar.
