Cómo resolver para el cero

Question

$$4x^2e^{-x^2}-2e^{-x^2}=0$$ Saqué un factor común de $2e^{-x^2}$ lo que me llevó a hacerlo: $2e^{-x^2}(2x^2-1)=0$ No estoy seguro de que sacar el factor común haya ayudado en absoluto y no sé a dónde ir desde aquí. ¡Sólo la forma exacta, por favor!

Answer 1

Sí, su comienzo es exactamente la forma deseable de proceder. Así que ha encontrado que

$$f(x) = \left(2e^{\left(-x^{\large 2}\right)}\right)\left(2x^2-1\right)=0$$

$f(x)$ es, pues, el producto de dos factores. Así que $\;f(x) = 0 \iff\;$ al menos un factor debe ser igual a cero.

El factor $2e^{-x^2}$ nunca será igual a cero. ¿Por qué no?

Eso deja $$\begin{align} f(x) = 0 \; & \iff\;\;2x^2 - 1 = 0 \\ \\ & \iff \;x^2 - 1/2 = 0 \\ \\ & \iff\; \left(x + \sqrt{1/2}\right)\left(x - \sqrt{1/2}\right) = 0 \\ \\ & \iff \;x = \pm \sqrt{1/2} \end{align}$$

Answer 2

$4x^2 e^{-x^2}-2e^{-x^2}=0$

$2 e^{-x^2}\left(2x^2-1\right)=0$

Lo cual es esencialmente cierto si $2e^{-x^2}=0$ o $2x^2-1=0$

Pero $e^{-x^2}$ nunca es cero para cualquier bonito $x$ .

$\therefore 2x^2-1=0$

Deberías ser capaz de resolver esto.