Integral de Dirichlet $\int_{V}\ x^{p}\,y^{q}\,z^{r}\ \left(\, 1 - x - y - z\,\right)^{\,s}\,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z$

Question

He encontrado un ejercicio de este tipo:

Calcula la integral de Dirichlet:

$$ \int_{V}\ x^{p}\,y^{q}\,z^{r}\ \left(\, 1 - x - y - z\,\right)^{\,s}\,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z \quad\mbox{where}\quad p, q, r, s >0 $$ y $V=\left\{\,\left(\, x,y,z\,\right) \in {\mathbb R}^{3}_{+}: x + y + z\ \leq\ 1\right\}$

Pensé que podría poner $x + y + z = \alpha$ . Tengo una pista, que es un enfoque correcto, pero también debería poner $y + z = \alpha\beta$ y $z=\alpha\beta\gamma$ . Así que:

$z=\alpha\beta\gamma\,,\quad y=\alpha\beta\left(\, 1 - \gamma\,\right)\,,\quad x=\alpha\left(\, 1 - \beta\,\right)$

¿Debo cambiar $x,y,z$ bajo el signo integral a $\alpha,\beta,\gamma$ Ahora

Answer 1

Para el tipo I Integrales de Dirichlet se tiene la fórmula:

$$\int_{\Delta_n} f\left(\sum_{k=1}^n t_k\right) \prod_{k=1}^n t_k^{\alpha_k-1}\prod_{k=1}^n dt_k = \frac{\prod_{k=1}^n \Gamma(\alpha_k)}{\Gamma(\sum_{k=1}^n\alpha_k)}\int_0^1 f(\tau) \tau^{(\sum_{k=1}^n\alpha_k)-1} d\tau$$

donde $$\Delta_n = \bigg\{ (x_1,\ldots,x_n) \in [0,\infty)^n : \sum_{k=1}^n x_k \le 1 \bigg\}$$ es el estándar $n$ -simplex. Para una demostración de una fórmula muy similar donde $\Delta_n$ se sustituye por $[0,\infty)^n$ Ver esto responder . Le mostrará cómo llevar a cabo el cálculo en su enfoque original.

Aplíquelo a su integral con

$$f(w) = (1-w)^s\quad\text{ and }\quad \begin{cases} \alpha_1 = p + 1\\ \alpha_2 = q + 1\\ \alpha_3 = r + 1 \end{cases}, $$ un hallazgo

$$\begin{align} \int_{\Delta_3}(1-x-y-z)^s x^p y^q z^r dxdydz = & \frac{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)\Gamma(r+1)}{\Gamma(p+q+r+3)}\int_0^1 (1-\tau)^s t^{p+q+r+2} d\tau\\ = &\frac{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)\Gamma(r+1)\Gamma(s+1)}{\Gamma(p+q+r+s+4)} \end{align} $$

Answer 2

Por qué no hacer un mapa $(x,y,z)$ en $(u^2,v^2,w^2)$ e integrar sobre un sector esférico?

Con el primer cambio de variables tenemos: $$ I = 8\iiint_S u^{2p+1} v^{2q+1} w^{2r+1} (1-(u^2+v^2+w^2))^s\,d\mu $$ donde $S=\{(u,v,w)\in(0,+\infty)^3: u^2+v^2+w^2\leq 1\}$ .

Al establecer $u=\rho\cos\theta\sin\phi, v=\rho\sin\theta\sin\phi, w=\rho\cos\phi$ obtenemos:

$$ I = 8\int_{0}^{1}\iint_{(0,\pi/2)^2}\rho^{2p+2q+2r+5}(1-\rho^2)^s\cos^{2p+1}\theta\sin^{2q+1}\theta\cos^{2r+1}\phi\sin^{2p+2q+3}\phi\,d\mu\,d\rho,$$ pero como, debido a las propiedades del Función Beta de Euler : $$ \int_{0}^{1}\rho^{2p+2q+2r+5}(1-\rho^2)^s\,d\rho = \frac{\Gamma(3+p+q+r)\Gamma(1+s)}{2\Gamma(4+p+q+r+s)},$$ $$\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2p+1}\theta\sin^{2q+1}\theta\,d\theta = \frac{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)}{2\Gamma(2+p+q)},$$ $$\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2r+1}\phi\sin^{2p+2q+3}\phi\,d\phi=\frac{\Gamma(2+p+q)\Gamma(1+r)}{2\Gamma(3+p+q+r)},$$ se deduce que: $$ \color{red}{I=\frac{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)\Gamma(r+1)\Gamma(s+1)}{\Gamma(4+p+q+r+s)}}. $$

Answer 3

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, #1\,\right\vert\right\vert} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ $\ds{\int_{V}\ x^{p}\,y^{q}\,z^{r}\ \pars{1 - x - y - z}^{\,s}\,\dd x\,\dd y\,\dd z\,;\ p, q, r, s >0}$ y $\ds{V=\braces{\pars{ x,y,z} \in {\mathbb R}^{3}_{+}: x + y + z\ \leq\ 1}}$

---

\begin{align}&\color{#66f}{\large\left. \int_{V}\ x^{p}\,y^{q}\,z^{r}\pars{1 - x - y - z}^{\, s}\,\dd x\,\dd y\,\dd z\, \right\vert_{\, x + y + z\ < 1}} \\[5mm]&=\left.\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}x^{p}\,y^{q}\,z^{r} \pars{1 - x - y - z}^{\,s}\,\dd x\,\dd y\,\dd z\, \right\vert_{\, x + y + z\ < 1} \\[5mm]&=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}x^{p}\,y^{q}\,z^{r}\ \Theta\pars{1 - x - y - z}\pars{1 - x - y - z}^{\,s}\,\dd x\,\dd y\,\dd z \\[5mm]&=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}x^{p}\,y^{q}\,z^{r}\ \overbrace{\int_{0^{-}}^{\infty} \delta\pars{1 - x - y - z - \xi}\xi^{\,s}\,\dd\xi} ^{\dsc{\Theta\pars{1 - x - y - z}\pars{1 - x - y - z}^{\,s}}}\ \,\dd x\,\dd y\,\dd z \\[5mm]&=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\int_{0^{-}}^{\infty}x^{p}\,y^{q}\,z^{r}\xi^{\,s}\ \overbrace{% \int_{0^{+}\ -\ \infty\ic}^{0^{+}\ +\ \infty\ic} \exp\pars{\tau\bracks{1 - x - y - z - \xi}}\,{\dd\tau \over 2\pi\ic}} ^{\dsc{\delta\pars{1 - x - y - z - \xi}}}\,\,\,\, \,\dd x\,\dd y\,\dd z\,\dd\xi \\[5mm]&=\int_{0^{+}\ -\ \infty\ic}^{0^{+}\ +\ \infty\ic}\ \overbrace{\int_{0}^{\infty}x^{p}\expo{-\tau x}\,\dd x} ^{\dsc{\tau^{-p - 1}\ \Gamma\pars{p + 1}}}\ \underbrace{\int_{0}^{\infty}y^{q}\expo{-\tau y}\,\dd y} _{\dsc{\tau^{-q - 1}\ \Gamma\pars{q + 1}}}\ \overbrace{\int_{0}^{\infty}z^{r}\expo{-\tau z}\,\dd z} ^{\dsc{\tau^{-r - 1}\ \Gamma\pars{r + 1}}}\ \underbrace{\int_{0}^{\infty}\xi^{s}\expo{-\tau\xi}\,\dd\xi} _{\dsc{\tau^{-s - 1}\ \Gamma\pars{s + 1}}}\,\,\,\, \expo{\tau}\,{\dd\tau \over 2\pi\ic} \\[5mm]&=\Gamma\pars{p + 1}\Gamma\pars{q + 1}\Gamma\pars{r + 1}\Gamma\pars{s + 1}\ \underbrace{\int_{0^{+}\ -\ \infty\ic}^{0^{+}\ +\ \infty\ic} \frac{\expo{\tau}}{\tau^{p + q + r + s + 4}}\,\,\,{\dd\tau \over 2\pi\ic}} _{\ds{\dsc{1 \over \pars{p + q + r + s + 3}!}\ =\ \dsc{1 \over \Gamma\pars{p + q + r + s + 4}}}} \end{align}

Finalmente, \begin{align} &\color{#66f}{\large\left.% \int_{V}\ x^{p}\,y^{q}\,z^{r}\pars{1 - x - y - z}^{\,s}\,\dd x\,\dd y\,\dd z \,\right\vert_{\, x + y + z\ <\ 1}} \\[5mm]&=\color{#66f}{\large{\Gamma\pars{p + 1}\Gamma\pars{q + 1}\Gamma\pars{r + 1}\Gamma\pars{s + 1} \over \Gamma\pars{p + q + r + s + 4}}} \end{align}

Answer 4

La respuesta y más se da también en Handbook of Applicable Mathematics, Vol IV : Analysis, § 10.2 Special functions, (ISBN 04712770405 o 0471101499, 1982, John Wiley and Sons, Ltd, ed. por Walter Ledermann y Steven Vajda). Con n > o la función gamma $$\Gamma(n)= \int_0^\infty e^{-x}\cdot x^{(n-1)}\,dx$$ y después de integrar por partes: $ \Gamma (n)=(