¿La varianza de una suma es igual a la suma de las varianzas?

Question

¿Es (siempre) cierto que $$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$$

Answer 1

La respuesta a su pregunta es "A veces, pero no en general".

Para ver esto dejemos $X_1, ..., X_n$ sean variables aleatorias (con varianzas finitas). Entonces,

$$ {\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$$

Ahora bien, tenga en cuenta que $(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j $ Lo cual está claro si se piensa en lo que se hace cuando se calcula $(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$ a mano. Por lo tanto,

$$ E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) $$

de manera similar,

$$ \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$$

así que

$$ {\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$$

por la definición de covarianza.

Ahora con respecto a ¿La varianza de una suma es igual a la suma de las varianzas? :

• Si las variables no están correlacionadas, sí Es decir, que.., ${\rm cov}(X_i,X_j)=0$ para $i\neq j$ entonces $$ {\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i) $$

• Si las variables están correlacionadas, no, no en general : Por ejemplo, supongamos que $X_1, X_2$ son dos variables aleatorias con varianza cada una $\sigma^2$ y ${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$ donde $0 < \rho <\sigma^2$ . Entonces ${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$ por lo que la identidad falla.

• pero es posible para ciertos ejemplos : Supongamos que $X_1, X_2, X_3$ tienen una matriz de covarianza $$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right) $$ entonces ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

Por lo tanto, si las variables no están correlacionadas entonces la varianza de la suma es la suma de las varianzas, pero a la inversa es no es cierto en general.

Answer 2

$$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$$

Por lo tanto, si las covarianzas tienen un promedio de $0$ Si las variables no están correlacionadas entre sí, o si son independientes, la varianza de la suma es la suma de las varianzas.

Un ejemplo en el que esto no es cierto: Sea $\text{Var}(X_1)=1$ . Dejemos que $X_2 = X_1$ . Entonces $\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$ .

Answer 3

Sólo quería añadir una versión más sucinta de la prueba dada por Macro, para que sea más fácil ver lo que pasa. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

Obsérvese que como $\Var(X) = \Cov(X,X)$

Para dos variables aleatorias cualesquiera $X,Y$ que tenemos:

\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align} Por lo tanto, en general, la varianza de la suma de dos variables aleatorias no es la suma de las varianzas. Sin embargo, si $X,Y$ son independientes, entonces $E(XY) = E(X)E(Y)$ y tenemos $\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$ .

Obsérvese que podemos obtener el resultado de la suma de $n$ variables aleatorias por una simple inducción.

Answer 4

Sí, si cada par de $X_i$ no están correlacionados, esto es cierto.

Ver el explicación en Wikipedia