Cono de helado y bucle de bucle

Question

Fue el emplazamiento en la clase a pensar en este problema, hice algunos bocetos de una solución, pero nunca se las arregló para resolverlo.

Suponga que un niño se inicia en la parte superior de un círculo con radio R, como se describe en la imagen. Es un día de nieve y la ruta de acceso puede ser considerado sin fricción. El niño entra en un bucle con radio r en la parte inferior de la colina. En la parte superior del bucle, el niño pierde su helado de cono de tal manera que se inicia faling. La velocidad inicial de la icream es de 0 m/s hacia abajo.

El problema es encontrar a R expresadas por r, de tal manera que el niño llega a la icrecream como él llega a la parte inferior del bucle.

El problema se reducía a averiguar cuánto tiempo el niño utiliza llegar desde la parte superior del bucle en la parte inferior. Cualquier ayuda, soluciones o insumos que sería genial.

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Mi intento, sé que esto es más probable que el 90% mal

Mediante el uso de conservación de la energía mecánica. La velocidad en la parte inferior de la colina es igual a

$$ v_b^2 = Rmg $$

Y la velocidad en la parte superior del bucle es igual a

$$ v_t^2 = 2g\left( R - 2r \right) $$

Vi sabemos que la aceleración del crecimiento es constante y es igual a $ g $ (Aquí es donde creo que puedo hacer mi error, se olvidó de la cuenta de la velocidad angular)

$$ s = \dfrac{v_1 - v_0}{2} t $$

Usamos esta ecuación para averiguar cuánto tiempo tarda el niño para llegar desde la parte superior a la parte inferior del bucle.

$$ \large t \, = \, \dfrac{2s}{v_1 - v_0} \, = \, \dfrac{2\left( \dfrac{2\pi r}{2}\right)}{\sqrt{2gR} - \sqrt{2g(R - 2r)}} $$

Ahora podemos averiguar cuánto tiempo tarda el icream a caer la distancia del diámetro o $ 2r $ .

$$ s = v_0 + \dfrac{1}{2}gt^2 $$

$$ t = \sqrt{\dfrac{2s}{g}} \, = \, \sqrt{\dfrac{4r}{g}} \, = \, 2 \sqrt{\dfrac{r}{g}} $$

Mediante la configuración de estos dos ecuaciones iguales el uno al otro, y resolviendo $$ R $ , obtenemos que

$$ R = \dfrac{16+8 \pi^2+\pi^4) r}{8 \pi^2} \cdot r \approx 2.43 r $$

Answer 1

Sé que esto es más probable que el 90% mal

Bien ahí está el problema ;-)

Hablando en serio:

Sé que la aceleración del crecimiento es constante y es igual a g (Aquí es donde creo que puedo hacer mi error, se olvidó de la cuenta de la velocidad angular)

Sí, eso es incorrecto. Suponiendo que usted está hablando acerca de la aceleración del carrito de la montaña rusa, no es constante. Por un lado, la aceleración es un vector, por lo que tiene una dirección así como una magnitud, y si la magnitud es constante, esto no significa que la aceleración es constante. Pero aún más importante: la magnitud de la aceleración es $g$ sólo para un objeto en caída libre. El carrito de la montaña rusa no está en caída libre debido a que tiene una pista de empujarlo. Por lo que su aceleración de los cambios en la magnitud y dirección de punto a punto en el circuito.

Por supuesto, determinar la aceleración como función del tiempo es un bonito complejo problema en su propio derecho. Tal vez hay algún truco que puede utilizar que te permitirá evitar tener que hacer eso.

Answer 2

En primer lugar, R y r son proporcionales, por dimensiones de análisis, a fin de establecer r a 1. Conjunto g a 1 por la elección de la unidad de tiempo a ser $\sqrt{r/g}$.

El helado de altura en cualquier momento es $2 - {t^2\over 2}$, donde el tiempo comienza cuando todo está en la parte superior del bucle, el primer momento de la caída. Así que el helado se pone a la parte inferior en t=2.

En el ángulo $\theta$ desde la parte superior, la velocidad del coche es, por conservación de la energía, $\sqrt{2(R + 1 - \cos(\theta))}$. El tiempo de caída es la integral de la distancia sobre la velocidad a lo largo del círculo, o

$$ {1\over \sqrt{2}} \int_0^\pi {d\theta \over \sqrt{R - 1 - \cos(\theta)}} $$

Y la creación de este tiempo igual a 2 da un trascendental ecuación para H=R-1, cuya solución es la respuesta (y ampliar el dominio de integración para el círculo completo).

$$ \int_0^{2\pi} {d\theta \over \sqrt{H - \cos(\theta)}} = 4\sqrt{2} $$

expanda el denominador en potencias de $\cos(\theta)$ usando el poder de la serie de square-raíz de abajo (una simple serie de Taylor en x=0):

$$ (1-x)^{-{1\over 2}} = \sum_{N=0}^{\infty} {(2N)!!\over 2^N} {x^N \over N!}$$

Donde el (2N)!! es un extraño notación de producto de los números impares menos de 2N, la cual está dada por:

$$ 2N!! = 1\cdot 3\cdot 5 ... \cdot (2N-1) = {(2N)!\over 2^N N!}$$

y el uso de esta útil de identidad para un entero N es:

$$ \int_0^{2\pi} (\cos(\theta))^{2N} d\theta = 2\pi {2N \choose N} {1\over 2^{2N}}$$ $$ \int_0^{2\pi} (\cos(\theta))^{2N+1} d\theta = 0 $$

Que se deriva por escrito coseno como una suma de exponenciales complejas y multiplicando el producto, y observa que sólo el medio plazo, incluso para los poderes sobrevive. Esto le da una buena expansión de la función de R en la izquierda.

La función es monótona decreciente desde el infinito en $H=1$ a 0 $H=\infty$, por lo que no hay una única solución. La expansión resultante es

$$ {1\over \sqrt{H}} \sum_{N=0}^{\infty} { (4N)!!\over (2^N N!)^2 } {1\over H^{2N}} = {2\sqrt{2}\over \pi} $$

Y la solución es (a mano) muy cerca de H=1.50, lo que significa que R es cercano a 2,50. Usted puede invertir la potencia de la serie, o simplemente resolver esto en un segundo con un ordenador.

Answer 3

Esto es lo que obtengo:

Con la conservación de la energía, la velocidad de la parte superior del bucle como una función de la $\theta$$\sqrt{2gr(1 - \cos(\theta))}$. La distancia recorrida es la longitud del arco, que es $rd\theta$. Por lo tanto, tengo tiempo como parte integral de la distancia, la velocidad, la cual es: $\int_0^\pi {rd\theta \over \sqrt{2gr(1 - \cos(\theta))}}$

No estoy seguro de cómo integrar esta expresión, pero creo que probablemente podría tomar desde allí.